Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \left( \log_a\frac{a+b}{2}\right) \left( \log_b\frac{a+b}{2}\right) \ge \left( \log_a\sqrt{ab}\right)\left( \log_b\sqrt{ab}\right) = \\ =\frac{1+\log_ab}{2}\cdot \frac{1+\log_ba}{2} \ge \sqrt{\log_ab}\cdot \sqrt{\log_ba} = 1}\)

Wyjściowa nierówność jest równoważna otrzymanej.

Q.

Rzeczywiście, masz rację, w liczniku powinien zostać \(\displaystyle{ x}\). W takim razie Twój błąd polegał na złym rozłożeniu mianownika.

Q.

Nie podałeś warunków początkowych, ale wnioskując po rozwiązaniu \(\displaystyle{ 3^n-2^n}\) są to \(\displaystyle{ a_0=0, a_1=1}\). A w takim razie funkcją tworzącą ciągu jest:
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{1-5x+6x^2}}\)

Q.

Wystarczy zapisać naszą funkcję tworzącą bez znaku sumy: \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \cdot x^{2n} = 1 \cdot x^0 +0\cdot x^1 +(-1)\cdot x^2 + 0\cdot x^3 + 1 \cdot x^4 + 0\cdot x^5 + \ldots I oczywistym jest, że przy nieparzystych potęgach jest zero, a przy parzystych zależnie od reszty z dzielenia w...

\(\displaystyle{ a_n = \begin{cases}
1 \ \textrm{gdy} \ n=4k\\
-1 \ \textrm{gdy} \ n=4k+2\\
0 \ \textrm{gdy} \ n=2k+1
\end{cases}}\)
lub krócej:
\(\displaystyle{ a_n = \frac{i^n+ (-i)^n}{2}}\)

Q.

Rozumiem, że chodzi o sposób bez reguły de l'Hospitala. Jak łatwo sprawdzić:
\(\displaystyle{ \frac{\log x -1}{x-10}= \frac{\log \left[ \left( 1 + \frac{x-10}{10}\right)^{\frac{10}{x-10}} \right] }{10}}\)
a nawias kwadratowy dąży do \(\displaystyle{ e}\).

Q.

Mamy:
\(\displaystyle{ 0\le b_n-a_n \le c_n-a_n}\)
Zatem z twierdzenia o trzech ciągach \(\displaystyle{ b_n-a_n}\) zbieżny i dalej łatwo.

Q.

Straznik Teksasu pisze:Dlatego rozwiązania tego równania nie są rzeczywiste i ta metoda nie daje rozwiązania.

Istotnie nie są rzeczywiste, ale metoda daje rozwiązanie - takie jakie podałem wyżej.

Q.

Jeśli naprawdę nie znasz żadnej metody rozwiązywania równań rekurencyjnych, to wpisz w Google na przykład "rekurencja liniowa równanie charakterystyczne" lub zajrzyj na Wikipedię pod hasło "równanie rekurencyjne".

Q.

Do rozwiązania rekurencji ja akurat użyłem równania charakterystycznego, ale są też inne metody. Natomiast przekształcenie to zwykła zamiana liczb zespolonych z nawiasów na postać trygonometryczną, a potem użycie wzoru de Moivre'a.

Q.

Czy prawdą jest, że dla każdego n \ge 1 mamy a _{n} > 0 ? Nie. Jeśli rozwiążemy tę rekurencję (dowolną metodą), to otrzymamy: a_n=\frac{ \left( 2014+i \right) ^{n-1}+ \left( 2014-i \right) ^{n-1}}{2} lub też po przejściu na postać trygonometryczną liczb zespolonych: a_n= \left( \sqrt{2014^2+1} \rig...

Wskazówka: pokaż, że funkcja podcałkowa jest nieparzysta.

Q.

Najprościej: \(\displaystyle{ W(-2)<0, W(0)>0, W(1)<0, W(2)>0}\) i z ciągłości funkcji wielomianowej widać w jakich przedziałach są trzy pierwiastki.

Q.

Przede wszystkim nie takie równania należy rozwiązywać. Jeśli \vec{v} \in f(\RR) \cap g(\RR) , to znaczy, że istnieją a,b\in \RR takie, że f(a)=g(b)=\vec{v} , a stąd dostajemy układ: \begin{cases}e^a=1-b\\ e^{2a}=\cos b\\ 1-e^{-a}=\sin b\end{cases} . Stąd mamy: \begin{cases} (1-b)^2=\cos b\\ 1- \fra...

Jever pisze:\(\displaystyle{ \frac{\sin ^{2n} x - \cos ^{2n} x}{\cos ^{n}x \sin^{n}x} = \frac{-2 \cos ^{n} 2x}{\sin ^{n} 2x}}\)

Przeanalizuj jeszcze raz to przejście.

Q.