Matematyka.pl

Zbadaj ciągłość funkcji

\(\displaystyle{ f(x,y)=\begin{cases} 1 &x,y\in\QQ\\0 &x,y\in\mathbb{IQ} \\-1 &x\in \QQ \text{ i } y\in \mathbb{IQ}\text{ lub odwrotnie.}\end{cases}}\)

Wykaz że jeśli funkcja \(\displaystyle{ f:R^{2}\to R}\) która jest ciągła jako funkcja zmiennej \(\displaystyle{ x_{1}}\) i jest ciagła jako funcja zmiennej \(\displaystyle{ x_{2}}\) oraz jest monotoniczna jako funkcja zmiennej \(\displaystyle{ x_{1}}\) jest ciągła.

Podaj Przykład zbioru \(\displaystyle{ A\subset R^{2}}\) , który ma punkt skupienia natomiast zbiór \(\displaystyle{ A'^{2}}\) bądź \(\displaystyle{ A'^{1}}\) nie ma punktów skupienia. Czy istnieje taki zbiór \(\displaystyle{ A\subset R^{2}}\), który ma punkt skupienia natomiast zbiory \(\displaystyle{ A'^{2}}\) i \(\displaystyle{ A'^{1}}\) nie mają??

Niech f(x,y)= \(\displaystyle{ x^{y}}\) dla x>0 i y>0. Pokaz , że nie mozna określić funkcji w (0,0) tak , aby była ona ciągła w tym punkcie.