Matematyka.pl

Tak, chodzi o doświadczenie Davissona - Germera z 1961 r

pozdrawiam

Wyznacznik macierzy A

Obliczyć pochodną kierunkową funkcji \(\displaystyle{ f(x,y)=arctgxy}\) w punkcie \(\displaystyle{ (2,1)}\) w kierunku wersora \(\displaystyle{ ( \frac{4}{5} ,- \frac{3}{5})}\).
Generalnie wzór znam, chodzi bardziej o to, jak dalej przejść do wyniku

Proszę o jakieś wskazówki

Wiedząc, że funkcja f ma drugie pochodne cząstkowe ciągłe znaleźć \(\displaystyle{ \frac{ \partial g}{ \partial y}}\) i \(\displaystyle{ \frac{\partial ^2g }{ \partial z \partial y}}\)

\(\displaystyle{ g(x,y,z)=f(xy,x-z)}\)

\(\displaystyle{ y=y_o+y_s\\
\\
y_o=Ce^{- \int_{}^{} -3dx}=Ce^{3x}\\}\)

Metodą przewidywań:

\(\displaystyle{ y_s=Ae^{2x}\\
y_s'=2Ae^{2x}}\)

Wstawiamy:

\(\displaystyle{ 2Ae^{2x}-3Ae^{2x}=5e^{2x}\\
2A-3A=5\\
A=-5\\
y=Ce^{3x}-5e^{2x}}\)

\(\displaystyle{ y=ax+b\\
y=3x-2\\}\)

parametryzacja:

\(\displaystyle{ x=t\\
dx=dt\\
y=3t-2\\
dy=3dt}\)

\(\displaystyle{ t \in [1,2]}\) lub \(\displaystyle{ t \in [2,1]}\) - zależnie jak skierowana

\(\displaystyle{ ...= \int_{1}^{2} 2tdt-9t^2+18tdt}\)

Wzór na styczną:

\(\displaystyle{ y=y_0+f'(x_0)(x-x_0)\\}\)

Obliczamy wartość \(\displaystyle{ y_0}\) dla danego \(\displaystyle{ x_0}\)

\(\displaystyle{ y_0= \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ y'= \frac{-2x}{2 \sqrt{4-x^2} } =\frac{-x}{ \sqrt{4-x^2} }\\
y'(1)=- \frac{ \sqrt{3} }{3} \\
y= \sqrt{3}- \frac{ \sqrt{3} }{3}(x-1)}\)

Wyznaczasz zespolone pierwiastki wielomianów Q(x) (pamiętając o zasadniczym twierdzeniu algebry) a następnie wstawiasz ich wartości do wielomianów P(x). Przy podnoszeniu do potęg należy skorzystać z postaci trygonometrycznej liczby zespolonej i ze wzoru de Moivre'a na potęgowanie.

a)
zakł.
\(\displaystyle{ f(x)>f(x+1)\\
f(x)-f(x+1)>0\\
-2x+4-(-2x-2+4)>0\\
2>0\\}\)

b)
zakł.
\(\displaystyle{ f(x+1)>f(x)\\
f(x+1)-f(x)>0\\
5x+5+6-(5x+6)>0\\
5>0}\)

2.
\(\displaystyle{ W(1)=-1\\
m^2-5-3m=-1\\
m^2-3m-4=0\\
(m+1)(m-4)=0\\

m=-1 \vee m=4}\)

Najpierw skoro można to warto rozłożyć wielomian, po obliczeniach: \int_{}^{} \frac{3dx}{x^4+7x^2+10} = \int_{}^{} \frac{3dx}{(x^2+5)(x^2+2)} Teraz skoro mamy iloczyn to można zauważyć, że tę całkę da się rozbić na dwie całki: \int_{}^{} \frac{3dx}{(x^2+5)(x^2+2)}= \int_{}^{} \frac{dx}{x^2+2}- \int_...

Może tak:

\(\displaystyle{ (a \circ b)=t\\
(a \circ b)=-2a+3b=t\\
(a \circ b) \circ c=(t \circ c)\\
(t \circ c)=-2t+3b=-2(-2a+3b)+3c}\)

Miejsca zerowe znajdujemy przyrównując wyrażenie do zera, a żeby wyzerować całe wyrażenie wystarczy wyzerować któryś z jego czynników. Tak więc miejscami zerowymi będą x_1=0\\ x_2=1\\ x_3=-2\\ x_4=-5\\ A kolejne potęgi określają krotności tych pierwiastków np. x=0 jest pierwiastkiem(miejscem zerowym...

\(\displaystyle{ \sqrt{i}=(cos \frac{\pi}{2}+isin \frac{\pi}{2})^{ \frac{1}{2}}}\)

I dalej wzór de Moivre'a na pierwiastek.