Matematyka.pl

Jak wykazac, ze te szeregi są rozbiezne

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } = \frac{4^{n}}{2^{n}+4^{n}}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } = \frac{(-4)^{n}}{2^{n}+4^{n}}}\)

pisałem, ze 2 juz mi wyszlo;] ale dzieki
ale to mi nic nie daje,ze go ogranicze z prawej strony, ja potrzebuje z lewej. dobrze mowie?

no nie, a juz myslalem ze to 2 jest dobrze.. bo moj pierwszy sposob faktycznie byl zly.

aa racja czyli moge dla odmiany ograniczyc najpierw -1? z lewej , potem to bedzie to kwadratu i zrobi sie jedynka i dalej tak samo?

2 już zrobiłem, 1 nie wiem do czego to porownac, do \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) ?
cos takiego?
\(\displaystyle{ \frac{1}{cos^{2} n} \le 1}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{ncos^{2}n} \le \frac{1}{n}}\) ?
a w 3 to po prostu o to chodzi ze cosinus dąży do 1? mozna to tak zapisac: ?
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } cos \frac{ \sqrt{n+1} - \sqrt{n} }{n} = cos 0=1}\)

Sprawdź, czy szereg jest zbiezny
1.\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{ncos^{2}n}}\)
2.\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } ln^{2}(1+ \frac{1}{n} )}\)
3.\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } cos \frac{ \sqrt{n+1}- \sqrt{n} }{n}}\)

Mam obliczyc \int_{L}^{} y(1-x^2)dx+x(1+y^2) dy gdzie łuk L jest okręgiem x^2+y^2=a^2 zorientowanym dodatnio wzgledem swojego wnetrza.

Liczone to mialo byc przy pomocy tw. Greena
wiec
Qx=1+y^2
Py=1-x^2
całka wiec wyglada
\int_{}^{} \int_{L}^{} y^2+x^{2} dxdy
parametryzacja okregu
x=acos ...

1. Oblicz masę łuku krzywej \(\displaystyle{ y=e^(-2x)}\) gdzie \(\displaystyle{ 0 \le x\le 1}\) jezeli gestosc w kazdym punkcie jest rowna kwadratowi odleglosci od osi OX.

\(\displaystyle{ M= \int_{L}^{} g(x,y,z) dl}\)
a jak zapisac te funkcje gestosci?

Jak obliczyc taka całkę?
\(\displaystyle{ \int \sqrt{2-2\cos t} dt}\)

W jakich punktach przestrzeni gradient pola f(x,y,z)= x^{3} +y^{3} +z ^{3} -3xyz jest wektorem prostopadłym do osi OZ.

gradient wyglada tak
grad f=[3x^{2}-3yz, 3y^{2}-3xz, 3z^{2}-3xy]
a wektor prostopadły \vec{v} =[0,0,c] gdzie c jest dowolna liczba
wiec mamy uklad rownan \begin{cases} 3x^{2}-3yz ...

z odpowiedzia sie zgadza, ale chcialem sie upewnic czy dobry sposob liczenia.
dzieki wielkie za pomoc

gradient wyszedl skomplikowany, ale po podstawieniu punktu 0,0
ostatecznie wyszlo grad f=[-1,-1] czyli to jest jakis wektor np v.
i nie wiem czy teraz dobrze mysle ale
| \vec{v} |= \sqrt{2}
\frac{ |\vec{v}| }{v}=[ -\frac{ \sqrt{2} }{2} ,\frac{ -\sqrt{2} }{2}]
i potem mnozac skalarnie grad f i ...

wiem co to gradient i jak sie oblicza, tylko nie rozumiem jak to zrobic w tym przypadku jak nie ma wektora

Obliczyć pochodną funkcji \(\displaystyle{ f(x,y)= \frac{x^{2}+y^{2}+1}{x+y+1}}\) w punkcie P(0,0) w kierunku gradientu w tym punkcie.

nie rozumiem za bardzo polecenia

czyli w a ten ułamek \(\displaystyle{ \frac{-2x}{2 pierwiastki }}\) pomnozyc trzeba przez pi/2 ?

a b) to sam nie wiem
\(\displaystyle{ f_{x} = \frac{1}{ \frac{-2x}{ 2\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} } }}\) ?