Matematyka.pl

Jak można udowodnić, że macierze kwadratowe postaci takiej: \begin{cases} a_{ii}=2i \\ a_{ij} = \min(i,j)-2, \quad i \neq j\end{cases} są dodatnio określone? Znam kryteria (Sylwestra, wszystkie wartości własne dodatnie itp.) ale nic mi one nie dają w tym ogólnym przypadku. Z góry dziękuję za pomoc.

... klad13.htm

Hmm... ciąg \(\displaystyle{ {x^n \over r^n}}\) chyba nie zawsze dąży do zera, bo przecież może być \(\displaystyle{ x=r}\).
Ale w kryterium Abela piszą, że wystarczy, żeby ten ciąg był nierosnący i ograniczony, więc to chyba nie przeszkadza, co nie?

W każdym razie dzięki za odpowiedź, kryterium Abela nie znałem.

Mamy sobie szereg funkcyjny: \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n{x^n \over \sqrt{n}} Oczywiście jest on zbieżny niemal jednostajnie na ]-1;1[ Ponadto jest on zbieżny dla x=1 . Ale: czy jest zbieżny jednostajnie po domknięciu przedziału z prawej strony? Tzn czy jest niemal jednostajnie zbieżny w ]-1,1] , tzn j...

Zbieżność punktowa: lim_{n oinfty}x^n = f(x) = left{egin{array}{lll}0 & mathrm{dla} & xin[0;1[ \ 1 & mathrm{dla} & x=1 end{array} ight. \lim_{n\to\infty}{1 \over nx} = g(x) = 0 , przy czym g jest określona na D_p=]0,+infty[ Zbieżność jednostajna: Od razu widać, że (f_n) nie jest zbie...

Eeee... drugie można prościej załatwić: Podstawiamy a=x-{\pi \over 2},\; b=y-{\pi \over 2} Wtedy dostajemy granicę: \lim_{(a,b)\to(0,0)}{\cos\left(a+{\pi \over 2}\right) \over \cos\left(b+{\pi \over 2}\right)}=\lim_{(a,b)\to(0,0)}{-\sin{a} \over -\sin{b}}=\lim_{(a,b)\to(0,0)}{\sin{a} \over a}\cdot{b...

\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to(0,0)} {1-\cos(x^2+y^2) \over (x^2+y^2)x^2y^2}}\)

Ta granica jest równa \(\displaystyle{ \infty}\) czy nie istnieje?

Niby funkcja nie jest określona w żadnym sąsiedztwie punktu \(\displaystyle{ (0,0)}\) ale jak patrzę na definicję granicy funkcji z naszych wykładów to wychodzi na to, że to w niczym nie przeszkadza...

Łatwo sobie poradzić ze zbiorem K\setminus\{0\} , bo wystarczy w nim rozważyć zwykłe mnożenie liczb zespolonych i otrzymamy grupę No nie wiem czy tak łatwo. Koło jest otwarte, więc skąd weźmiesz element neutralny, skoro 1\notin K ? Heh, no właśnie... skąd weźmiemy jedynkę? Po prostu będziemy udawać...

Wystarczy zrobić podstawienie: \(\displaystyle{ x= an{t};wedge;tin left]-{pi over 2},{pi over 2}
ight[}\) (dla każdego \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\) istnieje takie \(\displaystyle{ t}\)).
Potem kilka prostych przekształceń trygonometrycznych i zostaje tożsamość.

W pionowej rurze o wysokości h_0=6m w odległości h_1=1m od jej dolnego końca ustawiono grzałkę. W wyniku wrzenia gęstość cieczy w rurze zmniejsza się od wartości \rho_0=1000{kg \over m^3} na wysokości h_1 do \rho_1=900{kg \over m^3} u szczytu rury. Obliczyć pracę potrzebną na przemieszczenie V=1m^3 ...

Zadanie konkretnie brzmi: wyznacz granicę: \lim_{x \to 0}{\ln(1+x)-e^x+1 \over x^{\alpha}} w zależności od rzeczywistego \alpha , no ale rozwiązanie sprowadza się właściwie do policzenia tej wcześniejszej granicy (bo wiem, że wychodzi -1 ). A co do reguły de l'Hospitala - zakładam, że nie mogę jej u...

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0}{\ln(1+x)-e^x+1 \over x^2}}\)
Bez użycia reguły de l'Hospitala...

Heh no jak to...

\(\displaystyle{ x^2+y^2+3yi=4-3i}\) jest po prostu równoważne:
\(\displaystyle{ x^2+y^2=4 3y=-3}\)

Wlasciwie zgodnie z def. R-calki to powinno sie to liczyc dla dowolnego normalnego ciagu podzialow i dowodzic ze granica tej sumy jest jedna i ta sama dla kazdego takiego ciagu. Pozdro No i właśnie dlatego napisałem to: x^2 to ciągła funkcja więc bez żadnych zawahań możemy przyjąć, że każdy z przed...

Ok to może w ramach kontynuacji tematu, spróbuje omówić jeszcze definicję Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie. Definicja ta jest podobna do podanej w moim pierwszym poście definicji granicy ciągu, tyle, że zamiast lecieć z argumentem do nieskończoności, teraz będziemy się zbliżać do punktu, w który...