Matematyka.pl

Wielkie dzięki!

Nadal nie wiem jak to zrobic, czy mogę prosic o pełne rozwiązanie?

Pozdrawiam

Dokładnie nie wiem, dostałem je na kółku matematycznym w mojej szkole.
Pozdrawiam

Wykaż, że jeżeli w trójkącie o bokach długości a,b,c zachodzi równość:

\(\displaystyle{ 2( a^{8}+ b^{8} + c^{8})=(a ^{4} +b ^{4}+ c ^{4}) ^{2}}\)

to trójkąt ten jest prostokątny.

Trzecia nierówność(po przemnożeniu przez 2)
\(\displaystyle{ 2a^{2}+2b^{2}+2\geqslant 2ab+2a+2b}\)

Grupujemy jak w poprzednich przykładach...

\(\displaystyle{ (a-b)^{2}+(a-1)^{2}+(b-1)^{2}\geqslant 0}\)

Odnośnie 2 nierówności
\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}\geqslant2(a+b-1)

(a^{2}-2a+1)+(b^{2}-2b+1)\geqslant0

(a-1)^{2}+(b-1)^{2}\geqslant0}\)

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej zachodzi:

\(\displaystyle{ a^{2}+ab+b^{2}\geqslant3(a+b-1)}\)

W sumie tak, ale jakoś rażą mnie ułamki w nierównościach...

Tak tak, już do tego doszedłem. Czyli są cztery rozwiązania, mam rozumieć?

Dzieki polskimisiek, jednak interesuje mnie sam sposób matematyczny tego zadania. Ale jeszcze raz dzięki.

Niech D oznacza punkt przecięcia dwusiecznej kąta BCA z bokiem AB; dalej oznaczymy CB=a, CA=b, CD=u.
a) Udowodnić, że zachodzi BD:AD=a:b
b) Obliczyć pole trójkąta ABC, gdy dane są liczby a, b, u.

Dlaczego tak?

Albo inaczej

\(\displaystyle{ (a-b)^{2}\geqslant0}\)

Analogicznie dla par \(\displaystyle{ b,c}\) i \(\displaystyle{ a,c}\).

\(\displaystyle{ (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\geqslant0}\)
\(\displaystyle{ 2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}\geqslant2ab+2bc+2ac=2(ab+bc+ac)}\)

Dzieląć obustronnie przez 2 dostajemy tezę zadania.

Również z olimpiad czeskich.
1. Udowodnić, że liczba \(\displaystyle{ 17^{19}+19^{17}}\) jest podzielna przez liczbę \(\displaystyle{ 17+19}\).
2.Znaleźć wszystkie liczby całkowite x,y, które spełniają równanie
\(\displaystyle{ (3x+y)(x+y)=p}\) gdzie \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą.

Sprawdzałem, o bu przypadkach zgadza się.