Matematyka.pl

Musisz skorzystać gdzieś z założenia indukcyjnego. Może zacznij od:
(k+1)! = (k+1) \cdot k! \le (k+1) \cdot ke\left( \frac{k}{e}\right)^k \le \ldots
No i teraz kombinuj co może być większe od tego co tam jest po prawej - miej na uwadze do czego chcesz ostatecznie dojść, drobnymi krokami jedno ...

Nie wiadomo, zakładamy po prostu że tak jest i z tego założenia chcemy wyciągnąć wniosek, że dla kolejnej liczby też tak będzie. I tak naprawdę nie musisz się tym martwić czy dla wybranego k to jest prawda czy nie - bo potem przyjmujesz k=1 dla którego wcześniej wykazałeś że jest to prawda. Ale ...

Pierwszy krok indukcyjny: sprawdzamy czy działa dla najmniejszej wartości (np. dla 1).
Drugi krok indukcyjny: przyjmijmy że jest to prawda dla jakiegoś (bliżej nieokreślonego) k - czy będzie to też prawdą dla k+1 ?
Jeśli uda ci się wykazać punkt pierwszy (zazwyczaj trywialne) i punkt drugi (w tym ...

No cóż, biorąc pod uwagę że nie udało ci się wylosować nic innego to raczej jest mało prawdopodobne żeby białych było mniej. Przy tak dużej próbie powinieneś zastosować weryfikację hipotezy dla proporcji (może się przydać kompendium).

Dobrze, jeśli \(\displaystyle{ a}\) ma być rzeczywiste to takie równanie nie ma rozwiązania.

athame - wątek do którego linkujesz został przeniesiony do materiałów archiwalnych strefy administracyjnej i żaden użytkownik poza moderatorami i administratorami nie ma tam dostępu, post pochodzi z 2008 roku i oto jego treść:

Stosunkowo często powtarzają się pytania dotyczące rzekomej obecności ...

Dokładnie tak.

Jedyne ekstremum masz wtedy w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\).

1) źle liczysz - kolejność różniczkowania nie ma znaczenia.
2) musisz rozbić na przypadki albo możesz też sprytnie zauważyć że funkcja jest symetryczna względem zarówno x jak i y zatem można się ograniczyć do wartości nieujemnych - każde znalezione ekstremum w pierwszej ćwiartce będzie też miało ...

a) Co znaczy \(\displaystyle{ X | Y=1}\)? Jest to pewna zmienna losowa - możesz dość łatwo wyznaczyć jej rozkład. A jak już to zrobisz to policzysz i wariancję.
b) Spróbuj wyznaczyć rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z = X+Y}\).

Jak być może wiesz zachodzi \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{\infty} \left( \frac{1}{2} \right)^i = 1}\). Zatem w podpukcie c masz do czynienia z dyskretnym rozkładem prawdopodobieństwa - szansa na wylosowanie 1 wynosi 0.5, szansa na 2 wynosi 0.25, ..., szansa na wylosowanie \(\displaystyle{ k}\) wynosi \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2} \right)^k}\).

Zgadza się - za wiele tutaj nie policzysz.

I polecam też fajne ćwiczenia, niezależnie od języka jakiego się będziesz uczyć. Matematyczno-algorytmiczne więc mam nadzieję że się spodobają:

To może zacznij od R?

Masz tylko jedną zmienną \(\displaystyle{ x}\) więc rozwiązaniem będzie co najwyżej cała oś X.
Musisz rozważyć dwa przypadki:
1. \(\displaystyle{ x<2}\)
2. \(\displaystyle{ x \ge 2}\)
i każdy z nich rozwiązać przy takich ograniczeniach.