Matematyka.pl

Dane równanie, dla \(x,\ y\in\mathbb{Z}_+\setminus\{1\}\) (co uzasadnił kerajs ), jest równoważne
\[\frac{2}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} = 2 \sqrt{xy-1}. \]
Wobec nierówności pomiędzy średnimi geometryczną i harmoniczną mamy
\[\sqrt{xy}\ge 2\sqrt{xy-1}\\
\ldots\\
xy\le\frac{4}{3},\]
a ta nierówność ...

Wg mnie idzie po podstawieniu \[\sin x -\cos x = t\in[-\sqrt2;\sqrt2].\]
Pozdrawiam

Metoda prób i błędów najlepsza jest przy szukaniu żony... im więcej prób - tym więcej błędów...

Z postu @buszi89 na innym forum: dane równanie jest równoważne
\[(2\cos2x−1)^2+4(1+\sin3x)=0\]

Pozdrawiam

Przeczytaj, proszę, mój post jeszcze raz.

Pozdrawiam

Albo poprowadź promień do punktu styczności z bokiem \(\overline{c}\) i wykorzystaj podobieństwo trójkątów prostokątnych:
\[\frac{R}{c-b}=\frac{b}{\sqrt{c^2-b^2}}\]
Pozdrawiam

[edited] liczy się, przy zmiennych \(c,\ R\), kiepsko...

12= \frac{1}{3} \pi \tg 2\alpha\ctg^3 \alpha

Równanie to jest równoważne
\(12=\dfrac{1}{3}\cdot\pi\cdot\dfrac{2\tg\alpha}{1-\tg^2\alpha}\cdot\dfrac{1}{\tg^3\alpha}\) dla \(\alpha\in\left(0;{\pi\over4}\right)\).

...W takim razie jak rozwiązać to równanie czwartego stopnia . :?:

Po ...

Wg mnie dana funkcja dla argumentu \(x=0\) osiąga wartość maksymalną (i największą), bo w jego sąsiedztwie przyjmuje wartości mniejsze od \(f(0)=1\) (a w dziedzinie - wartości nie większe od \(1\)).

Pozdrawiam
PS. Archeologia?

Tak.

Pozdrawiam

Hint:
Zauważ, że \(\Delta AED\sim\Delta EBF\ (k,k);\ k=3\). Stąd \(|EB|=1\) .... i dalej - oczywiste.

Pozdrawiam

Jedna z wielu dróg (inne - m.in. przez pole \(\Delta ABC\)):
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:
Geogebra 003.png
z \(\Delta PBC,\ \Delta APC\) i tw. Carnota: \(\begin{cases}|BC|\approx 50\\|AC|\approx74\end{cases}\),
z \(\Delta ABC\) (albo \(\Delta APC\)) i tw. Carnota (albo z \(\Delta APC ...

Przyjmijmy oznaczenia, z szybkimi wnioskami o miarach kątów, jak na rysunku:
6_katy.png
\(|A_1F_1|=5\sqrt3\),
\(|A_1P|=5\sqrt3-x\), gdzie \(x\in(0;5\sqrt3)\).
Pozostaje rozwiązać, z \(\Delta A_1BP\) i tw. Carnota, równanie:
\[10^2=(5\sqrt3-x)^2+5^2-2\cdot(5\sqrt3-x)\cdot5\cdot\cos150^\circ ...

Rysunek wystarczy? Pozdrawiam

Rozwiązaniem danej nierówności (za Desmosem) jest
\[(-\infty;-3)\cup(x_1;-2)\cup(x_2;-1)\cup(x_3;+\infty),\]
gdzie \(x_1\approx -2,8,\ x_2\approx-1,7,\ x_3\approx-0,5\), zatem
średnia harmoniczna nie zadziała,
problem wykracza ponad poziom zdeformowanej szkoły ponadpodstawowej.
Pozdrawiam ...

Dana nierówność jest równoważna, w swojej dziedzinie, nierówności:
\[-(x+1)(x+2)(x+3)\left[3(x+2)^3-3(x+2)^2-3(x+2)+1\right]<0.\]
Pozostaje wskazać, np. z wzorów Cardano, pierwiastki (wszystkie trzy niewymierne) wielomianu
\[w(t)=3t^3-3t^2-3t+1,\ \text{gdzie }t=x+2,\]
naszkicować wykres wielomianu ...

Dla \(m=0\) rozwiązaniem nierówności jest \((-2;\ +\infty)\),
dla \(m\ne0\) nierówność jest równoważna \[m\left(x-\frac{2-2m}{m}\right)(x+2)<0.\]
Warunkiem koniecznym jest \(\dfrac{2-2m}{m}=0\), po sprawdzeniu - odpowiedź.
Pozdrawiam