Matematyka.pl

1. Obliczyc grupe Galois \(\displaystyle{ G(L/\mathbb{Q})}\) dla \(\displaystyle{ L=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5})}\) i \(\displaystyle{ L=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})}\)

2. Niech \(\displaystyle{ L_{a}}\) bedzie cialem rozkladu wielomianu \(\displaystyle{ X^{3}-a}\) dla \(\displaystyle{ a\in \mathbb{Q}}\).
Obliczyc grupe Galois \(\displaystyle{ G(L_{a}/\mathbb{Q})}\) w zaleznosci od \(\displaystyle{ a}\).

Zbadac rzedy ponizszych grup: a) Grupa GL_{2}(\mathbb{F}_{q}) macierzy odwracalnych 2 \times 2 nad \mathbb{F}_{q} b) Grupa SL_{2}(\mathbb{F}_{q}) macierzy 2 \times 2 nad \mathbb{F}_{q} z wyznacznikiem =1 ; c) Centrum SL_{2}(\mathbb{F}_{q}) Obliczyc rzedy grup GL_{3}(\mathbb{F}_{2}) i SL_{3}(\mathbb{...

1. a) Ustalić ciało rozkładu wielomianu X^{6}+1 \in \mathbb{F}_{2}[X] . b) Rozłożyć wielomian X^{9}-X \in \mathbb{F}_{3}[X] na czynniki nie rozkładalne c) Rozłożyć wielomian X^{4}+X+1 \in \mathbb{F}_{4}[X] na czynniki nie rozkładalne 2. Wypisać tabliczki dodawania i mnożenia dla \mathbb{Z}/4\mathbb{...

1. Ustalic stopien ciala rozkladu L nad Q wielomianu f=X^{4}-2X^{2}+2 . 2. a) Dla a,b \mathbb{Q^{*}} gdzie \mathbb{Q^{*}}=\mathbb{Q}/\lbrace 0 \rbrace i a b pokazac, ze z= \sqrt{a}+\sqrt{b} jest elementem prymitywnym \mathbb{Q} [\sqrt{a},\sqrt{b}] b) Ustalic element prymitywny wielomianu X^{3}-2 \ma...

1. Niech x=i \sqrt{5} i y=(1+i) \sqrt[4]{5} . Pokazac, ze: a) \mathbb{Q}(x) jest normalne nad \mathbb{Q} b) \mathbb{Q}(y) jest normalne nad \mathbb{Q}(x) c) \mathbb{Q}(y) nie jest normalne nad \mathbb{Q} 2. Niech L \mathbb{C} bedzie cialem rozkladu wielomianu f=X^{4}-3 \mathbb{Q}[X] . a) Pokazac, ze...

1. Niech a_{n} \mathbb{R} bedzie miejscem zerowym wielomianu X^{n}-2 \mathbb{Q} [X] , i niech L = \mathbb{Q}( \lbrace a_{n} | n \mathbb{N} \rbrace ) . Pokazac, ze L nad \mathbb{Q} jest algebraiczne i, ze [L: \mathbb{Q} ] = . 2. Pokazac dla rozszerzen cial K K' L dla ktorych [L:K] = [L:K'] < , ze K'=...

1. Niech \(\displaystyle{ L}\) bedzie rozszerzeniem ciala \(\displaystyle{ K}\), a \(\displaystyle{ V}\) przestrzenia liniowa nad \(\displaystyle{ L}\). Pokazac, ze \(\displaystyle{ V}\) jest przestrzenia liniowa nad \(\displaystyle{ K}\) i, ze \(\displaystyle{ dim_{K} V \ = \ [L : K] \ dim_{L} V}\)

2. Ustalic stopien \(\displaystyle{ \mathbb{Q} (\sqrt{2},i)}\) nad \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\) i wielomian minimalny \(\displaystyle{ x = i + \sqrt{2}}\) nad \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\)

Pierwszy przyklad jest ok dla p=5, ale co z reszta? Tak jakby kryterium Eisensteina nie pasuje.

Heh pwenie racja, ale nie wiem jak sie do tego zabrac, moglbym prosic chociaz o wytlumaczenie jednego przykladu? Z reszta sobie juz poradze.

To jest chyba trudne: a) Niech K bedzie cialem, a V przestrzenia liniowa nad K . Wiadomo, ze wektory v_{1},...,v_{n} V sa liniowo zalezne wtw. gdy jeden z tych wektorow jest liniowo zalezny od pozostalych. Sprawdzic czy to twierdzenie pozostanie prawdziwe, jesli wektory v_{1},...,v_{n} V zostana zas...

1. Pokazac, ze podane wielomiany sa nierozkladalne w \(\displaystyle{ \mathbb{Q} [X]}\):

a) \(\displaystyle{ 2X^{4}+200X^{3}+2000X^{2}+20000X+20}\)

b) \(\displaystyle{ X^{4}+3X^{3}+X^{2}-2X+1}\)

2. Zbadac nierozkladalnosc podanych wielomianow w \(\displaystyle{ \mathbb{Q} [X]}\):

a) \(\displaystyle{ X^{5}+7X^{3}+4X^{2}+6X+1}\)

b) \(\displaystyle{ X^{4}-4X^{3}+6X^{2}-4X-9999}\)

1. Niech R= \mathbb{Z} [\sqrt{-5}] = \{ a+b \sqrt{-5} | a,b \mathbb{Z} \} a) Pokazac, ze 3 i 1\pm \sqrt{-5} sa elementami nierozkladalnymi w R i ze 3 nie jest elementem pierwszym b) Obliczyc wszystkie elementy odwracalne w R 2. Niech R bedzie dziedzina calkowitosci. Pokazac, ze nastepujace warunki s...

Kiedys robilem kongruencje na matematyce dyskretnej, ale nie moge sobie przypomniec jak to lecialo: 1. Rozwiazac w \mathbb{Z} uklad kongruencji: x \equiv 6 \ (mod \ 5) x \equiv 5 \ (mod \ 6) x \equiv 7 \ (mod \ 7) 2. a) Niech \mathbb{F}_{2} = \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} . Ustalic najwiekszy wspolny dz...

Pokazac, ze: a) Dla idealow glownych (a) i (b) w przemiennym pierscieniu (a)(b)=(ab) b) Niech R bedzie pierscieniem takim, ze \forall \gamma , \zeta R \gamma \zeta \gamma \cap \zeta , gdzie \gamma i \zeta sa idealami. Skonstruowac przyklad w ktorym \gamma \zeta \gamma \cap \zeta .

1. Niech R i S beda pierscieniami i niech f:R S bedzie przeksztalceniem takim, ze: \forall x,y R f(x+y)=f(x)+f(y) f(xy)=f(x)f(y) . Pokazac, ze f(1) w obrazie f jest jednoscia, ale ze f(1) nie musi byc jednoscia w S 2. Niech R (0) bedzie pierscieniem takim, ze \forall x R x^{2}=x . Pokazac, ze a) R j...