Znaleziono 2563 wyniki
- 7 lut 2024, o 14:21
- Forum: Polska Olimpiada Matematyczna
- Temat: XIX OMJ
- Odpowiedzi: 19
- Odsłony: 2096
Re: XIX OMJ
A zadanie 1. okazało się statystycznie trudniejsze niż 2. i 3. Co do Twojego pytania - OMJ w komentarzach pod swoim postem na FB napisało tak: Pytanie: Pytanie do organizatorów: Czym podyktowane było ograniczenie liczby finalistów do 120? Patrząc na minione lata było to: 2023: 168 2022: 159 2021: 21...
- 31 sty 2024, o 14:18
- Forum: Polska Olimpiada Matematyczna
- Temat: XIX OMJ
- Odpowiedzi: 19
- Odsłony: 2096
Re: XIX OMJ
Aczkolwiek w komentarzach pod jednym z ostatnich postów na FB OMJ właśnie zobaczyłem taki wpis: [...] przeprowadzamy ankietę wśród uczestników zawodów II stopnia i jej dotychczasowe wyniki (ponad 300 głosów) wskazują na to, że za najłatwiejsze uważane jest zadanie 2. Zadanie 1 oceniane jest jako śre...
- 27 sty 2024, o 14:58
- Forum: Polska Olimpiada Matematyczna
- Temat: XIX OMJ
- Odpowiedzi: 19
- Odsłony: 2096
Re: XIX OMJ
Myślę, że przeszacowałeś trudność zadania 3. - jednak ono było takim absolutnie standardowym zadaniem na przystawanie trójkątów. Ja swoich uczniów uczę zaznaczania boków o jednakowej długości jednakowym kolorem (jak nie ma kolorów, kreatywnie wybrnąć z problemu). Wtedy jeśli też odcinek z tezy zazna...
- 26 lip 2023, o 18:11
- Forum: Przekształcenia algebraiczne
- Temat: Układ i potegi
- Odpowiedzi: 1
- Odsłony: 607
Re: Układ i potegi
Pokażemy, że to równanie ma dwa rozwiązania. Z pierwszego z równań mamy natychmiast x \le 0 , podobnie i inne zmienne są nieujemne. Z racji, że układ równań jest cykliczny, bez straty ogólności możemy przyjąć, że x jest najmniejszą liczbą spośród liczb x, y, z . Sprawdźmy zatem dwa przypadki. a) x \...
- 16 mar 2023, o 18:00
- Forum: Wartość bezwzględna
- Temat: Wykaż, że jeśli
- Odpowiedzi: 3
- Odsłony: 857
Re: Wykaż, że jeśli
Dla mnie czytelniejszy jest taki zapis - dopełniając do wzorów skróconego mnożenia \(\displaystyle{ (x+4y)^2}\) oraz \(\displaystyle{ (x-4y)^2}\) mamy:
\(\displaystyle{ (x+4y)^2=24xy \\ (x-4y)^2=8xy}\)
Tezę łatwo dostajemy po spierwiastkowaniu tych równań, ostrożnie używając założeń zadania.
\(\displaystyle{ (x+4y)^2=24xy \\ (x-4y)^2=8xy}\)
Tezę łatwo dostajemy po spierwiastkowaniu tych równań, ostrożnie używając założeń zadania.
- 11 lip 2020, o 22:14
- Forum: Kółko matematyczne
- Temat: [MIX] Zadania rezerwowe
- Odpowiedzi: 5
- Odsłony: 1129
Re: [MIX] Zadania rezerwowe
Z AM>=GM: \frac{2}{3}=\frac{x+e^x}{3}=\frac{\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+e^x}{3} \ge \sqrt[3]{\frac{x^2}{4}e^x}=\sqrt[3]{\frac{1}{2}} . Równoważnie: \frac{8}{27} \ge \frac{1}{2} , czyli 16 \ge 27 . Jest to sprzeczne - zatem brak rzeczywistych rozwiązań tego układu równań. --- [EDIT] Jeszcze nie zadbałem...
- 30 lis 2019, o 15:29
- Forum: Kółko matematyczne
- Temat: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb
- Odpowiedzi: 151
- Odsłony: 42195
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb
Tak, jest OK! Dokładnie o to mi chodziło :) Co do Twojego zadania - skoro mamy rozwiązać to równanie w liczbach całkowitych dodatnich, to prawa strona jest większa od zera, zatem lewa też, a stąd m > n . Mamy m^3-n^3=(m-n)(m^2+mn+n^2)=7mn+5 . Ponieważ m>n , to m^2+mn+n^2=(m-n)^2+3mn>3mn . Intuicja j...
- 8 lis 2019, o 02:14
- Forum: Kółko matematyczne
- Temat: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb
- Odpowiedzi: 151
- Odsłony: 42195
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb
Niech p\ge 5 będzie liczbą pierwszą. Niechaj N=(p-1)^{p}+1 i niech N=\prod_{i=1}^{n}p_i^{\alpha_i} (rozkład N na czynniki pierwsze). Proszę wykazać, że \sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}p_{i}\ge \frac{p^{2}}{2} Przy p \ge 5 liczba N=(p-1)^p+1 jest nieparzysta i z racji p-1\equiv 0 \ (mod \ 3) lub p-1\equiv 1...
- 15 paź 2019, o 08:18
- Forum: Kółko matematyczne
- Temat: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
- Odpowiedzi: 1400
- Odsłony: 230606
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Nowe zadanie: w rzeczywistych dodatnich x_1, x_2, \ldots x_n ( n>3 ) spełniających warunek x_1 x_2\ldots x_n=1 proszę udowodnić, że \frac{1}{1+x_1+x_1x_2} +\frac{1}{1+x_2+x_2x_3}+\ldots+\frac{1}{1+x_n+x_n x_1}>1 Z racji warunku na iloczyn, można podstawić x_i=\frac{a_{i+1}}{a_i} dla pewnych liczb a...
- 7 paź 2019, o 01:07
- Forum: Polska Olimpiada Matematyczna
- Temat: LXXI OM
- Odpowiedzi: 24
- Odsłony: 11090
Re: LXXI OM
Oczywiście na zrobienie tego zadania był jedyny słuszny sposób. Ale pokopmy tu trochę. Jeśli przez f(n) oznaczymy liczbę możliwych różnych wartości \lfloor \frac{n}{k} \rfloor , to podsumowując wnioski z zadania 1., dostajemy że f(n) \le 2 \sqrt{n} + 1 . W jednym z przypadków była jednak nierówność...
- 7 cze 2019, o 01:29
- Forum: Przekształcenia algebraiczne
- Temat: Układ i iloczyn
- Odpowiedzi: 3
- Odsłony: 1172
Re: Układ i iloczyn
Zaprezentuję podejście geometryczne - bo forma 3 równań zasugerowała mi twierdzenie kosinusów. Jeśli xyz=0 , to jedna z liczb a,b,c jest równa zero, a dwie pozostałe są równe co do modułu, więc teza jest oczywista. Jeśli xyz\neq 0 , zauważmy, że w trójce (x,y,z) spełniającej ten układ równań nie moż...
- 27 maja 2019, o 19:12
- Forum: Kombinatoryka i matematyka dyskretna
- Temat: W pewnej grupie osób
- Odpowiedzi: 2
- Odsłony: 699
Re: W pewnej grupie osób
Gdyby teza nie była prawdziwa, to każdy znałby kogoś, kto ma więcej znajomych od niego - sprzeczność z zasadą maksimum.
- 27 maja 2019, o 09:25
- Forum: Planimetria
- Temat: Iloczyny naprzeciwległych pól w czworokącie
- Odpowiedzi: 3
- Odsłony: 1037
Re: Iloczyny naprzeciwległych pól w czworokącie
Musi być to w czworokącie wypukłym. Można także po prostu popatrzeć ze zwyczajnej perspektywy podstawy i wysokości - jeśli opuścimy na przekątną BD wysokości h_1 i h_2 , odpowiednio z punktów A i C , to oba iloczyny są równe \frac{1}{4}BS \cdot h_1 \cdot DS \cdot h_2 - zatem są równe. P.S. Jak widać...
- 21 kwie 2019, o 12:00
- Forum: Teoria liczb
- Temat: Rozkład z przesunięciem
- Odpowiedzi: 12
- Odsłony: 2040
Re: Rozkład z przesunięciem
Postaram się rozwiązać zadanie po poprawce Premislava . Zrobimy zadanie ogólniejsze. Umówmy się, że \mathbb{N} = \{0,1,2,...\} . Załóżmy, że mamy niepuste zbiory \{A_k\}_{k\in \mathbb{N}} takie, że \mathbb{N} = \dot\bigcup_{k\in \NN}A_k Ponadto niech dla każdego k oraz n\in \mathbb{N} istnieje l ta...
- 31 mar 2019, o 15:05
- Forum: Kółko matematyczne
- Temat: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
- Odpowiedzi: 1400
- Odsłony: 230606
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Oboje bardzo pięknie!
Zachęcam powymyślać podobne nierówności i ciachać kąt \(\displaystyle{ 60^o, 75^o, 90^o, 105^o, 120^o, 135^o, 150^o, 165^o}\) czy \(\displaystyle{ 180^o}\) na części mające \(\displaystyle{ 30^o, 45^o, 60^o, 90^o, 120^o, 135^o}\) czy \(\displaystyle{ 150^o}\).
Lub inne, mniej przyjemne dla oka wartości.
Zachęcam powymyślać podobne nierówności i ciachać kąt \(\displaystyle{ 60^o, 75^o, 90^o, 105^o, 120^o, 135^o, 150^o, 165^o}\) czy \(\displaystyle{ 180^o}\) na części mające \(\displaystyle{ 30^o, 45^o, 60^o, 90^o, 120^o, 135^o}\) czy \(\displaystyle{ 150^o}\).
Lub inne, mniej przyjemne dla oka wartości.