Znaleziono 2563 wyniki

autor: Sylwek
7 lut 2024, o 14:21
Forum: Polska Olimpiada Matematyczna
Temat: XIX OMJ
Odpowiedzi: 19
Odsłony: 1808

Re: XIX OMJ

A zadanie 1. okazało się statystycznie trudniejsze niż 2. i 3. Co do Twojego pytania - OMJ w komentarzach pod swoim postem na FB napisało tak: Pytanie: Pytanie do organizatorów: Czym podyktowane było ograniczenie liczby finalistów do 120? Patrząc na minione lata było to: 2023: 168 2022: 159 2021: 21...
autor: Sylwek
31 sty 2024, o 14:18
Forum: Polska Olimpiada Matematyczna
Temat: XIX OMJ
Odpowiedzi: 19
Odsłony: 1808

Re: XIX OMJ

Aczkolwiek w komentarzach pod jednym z ostatnich postów na FB OMJ właśnie zobaczyłem taki wpis: [...] przeprowadzamy ankietę wśród uczestników zawodów II stopnia i jej dotychczasowe wyniki (ponad 300 głosów) wskazują na to, że za najłatwiejsze uważane jest zadanie 2. Zadanie 1 oceniane jest jako śre...
autor: Sylwek
27 sty 2024, o 14:58
Forum: Polska Olimpiada Matematyczna
Temat: XIX OMJ
Odpowiedzi: 19
Odsłony: 1808

Re: XIX OMJ

Myślę, że przeszacowałeś trudność zadania 3. - jednak ono było takim absolutnie standardowym zadaniem na przystawanie trójkątów. Ja swoich uczniów uczę zaznaczania boków o jednakowej długości jednakowym kolorem (jak nie ma kolorów, kreatywnie wybrnąć z problemu). Wtedy jeśli też odcinek z tezy zazna...
autor: Sylwek
26 lip 2023, o 18:11
Forum: Przekształcenia algebraiczne
Temat: Układ i potegi
Odpowiedzi: 1
Odsłony: 593

Re: Układ i potegi

Pokażemy, że to równanie ma dwa rozwiązania. Z pierwszego z równań mamy natychmiast x \le 0 , podobnie i inne zmienne są nieujemne. Z racji, że układ równań jest cykliczny, bez straty ogólności możemy przyjąć, że x jest najmniejszą liczbą spośród liczb x, y, z . Sprawdźmy zatem dwa przypadki. a) x \...
autor: Sylwek
16 mar 2023, o 18:00
Forum: Wartość bezwzględna
Temat: Wykaż, że jeśli
Odpowiedzi: 3
Odsłony: 738

Re: Wykaż, że jeśli

Dla mnie czytelniejszy jest taki zapis - dopełniając do wzorów skróconego mnożenia \(\displaystyle{ (x+4y)^2}\) oraz \(\displaystyle{ (x-4y)^2}\) mamy:
\(\displaystyle{ (x+4y)^2=24xy \\ (x-4y)^2=8xy}\)

Tezę łatwo dostajemy po spierwiastkowaniu tych równań, ostrożnie używając założeń zadania.
autor: Sylwek
11 lip 2020, o 22:14
Forum: Kółko matematyczne
Temat: [MIX] Zadania rezerwowe
Odpowiedzi: 5
Odsłony: 1113

Re: [MIX] Zadania rezerwowe

Z AM>=GM: \frac{2}{3}=\frac{x+e^x}{3}=\frac{\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+e^x}{3} \ge \sqrt[3]{\frac{x^2}{4}e^x}=\sqrt[3]{\frac{1}{2}} . Równoważnie: \frac{8}{27} \ge \frac{1}{2} , czyli 16 \ge 27 . Jest to sprzeczne - zatem brak rzeczywistych rozwiązań tego układu równań. --- [EDIT] Jeszcze nie zadbałem...
autor: Sylwek
30 lis 2019, o 15:29
Forum: Kółko matematyczne
Temat: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb
Odpowiedzi: 151
Odsłony: 40209

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Tak, jest OK! Dokładnie o to mi chodziło :) Co do Twojego zadania - skoro mamy rozwiązać to równanie w liczbach całkowitych dodatnich, to prawa strona jest większa od zera, zatem lewa też, a stąd m > n . Mamy m^3-n^3=(m-n)(m^2+mn+n^2)=7mn+5 . Ponieważ m>n , to m^2+mn+n^2=(m-n)^2+3mn>3mn . Intuicja j...
autor: Sylwek
8 lis 2019, o 02:14
Forum: Kółko matematyczne
Temat: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb
Odpowiedzi: 151
Odsłony: 40209

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Niech p\ge 5 będzie liczbą pierwszą. Niechaj N=(p-1)^{p}+1 i niech N=\prod_{i=1}^{n}p_i^{\alpha_i} (rozkład N na czynniki pierwsze). Proszę wykazać, że \sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}p_{i}\ge \frac{p^{2}}{2} Przy p \ge 5 liczba N=(p-1)^p+1 jest nieparzysta i z racji p-1\equiv 0 \ (mod \ 3) lub p-1\equiv 1...
autor: Sylwek
15 paź 2019, o 08:18
Forum: Kółko matematyczne
Temat: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Odpowiedzi: 1396
Odsłony: 225265

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Nowe zadanie: w rzeczywistych dodatnich x_1, x_2, \ldots x_n ( n>3 ) spełniających warunek x_1 x_2\ldots x_n=1 proszę udowodnić, że \frac{1}{1+x_1+x_1x_2} +\frac{1}{1+x_2+x_2x_3}+\ldots+\frac{1}{1+x_n+x_n x_1}>1 Z racji warunku na iloczyn, można podstawić x_i=\frac{a_{i+1}}{a_i} dla pewnych liczb a...
autor: Sylwek
7 paź 2019, o 01:07
Forum: Polska Olimpiada Matematyczna
Temat: LXXI OM
Odpowiedzi: 24
Odsłony: 10809

Re: LXXI OM

Oczywiście na zrobienie tego zadania był jedyny słuszny sposób. Ale pokopmy tu trochę. Jeśli przez f(n) oznaczymy liczbę możliwych różnych wartości \lfloor \frac{n}{k} \rfloor , to podsumowując wnioski z zadania 1., dostajemy że f(n) \le 2 \sqrt{n} + 1 . W jednym z przypadków była jednak nierówność...
autor: Sylwek
7 cze 2019, o 01:29
Forum: Przekształcenia algebraiczne
Temat: Układ i iloczyn
Odpowiedzi: 3
Odsłony: 1153

Re: Układ i iloczyn

Zaprezentuję podejście geometryczne - bo forma 3 równań zasugerowała mi twierdzenie kosinusów. Jeśli xyz=0 , to jedna z liczb a,b,c jest równa zero, a dwie pozostałe są równe co do modułu, więc teza jest oczywista. Jeśli xyz\neq 0 , zauważmy, że w trójce (x,y,z) spełniającej ten układ równań nie moż...
autor: Sylwek
27 maja 2019, o 19:12
Forum: Kombinatoryka i matematyka dyskretna
Temat: W pewnej grupie osób
Odpowiedzi: 2
Odsłony: 690

Re: W pewnej grupie osób

Gdyby teza nie była prawdziwa, to każdy znałby kogoś, kto ma więcej znajomych od niego - sprzeczność z zasadą maksimum.
autor: Sylwek
27 maja 2019, o 09:25
Forum: Planimetria
Temat: Iloczyny naprzeciwległych pól w czworokącie
Odpowiedzi: 3
Odsłony: 1021

Re: Iloczyny naprzeciwległych pól w czworokącie

Musi być to w czworokącie wypukłym. Można także po prostu popatrzeć ze zwyczajnej perspektywy podstawy i wysokości - jeśli opuścimy na przekątną BD wysokości h_1 i h_2 , odpowiednio z punktów A i C , to oba iloczyny są równe \frac{1}{4}BS \cdot h_1 \cdot DS \cdot h_2 - zatem są równe. P.S. Jak widać...
autor: Sylwek
21 kwie 2019, o 12:00
Forum: Teoria liczb
Temat: Rozkład z przesunięciem
Odpowiedzi: 12
Odsłony: 2028

Re: Rozkład z przesunięciem

Postaram się rozwiązać zadanie po poprawce Premislava . Zrobimy zadanie ogólniejsze. Umówmy się, że \mathbb{N} = \{0,1,2,...\} . Załóżmy, że mamy niepuste zbiory \{A_k\}_{k\in \mathbb{N}} takie, że \mathbb{N} = \dot\bigcup_{k\in \NN}A_k Ponadto niech dla każdego k oraz n\in \mathbb{N} istnieje l ta...
autor: Sylwek
31 mar 2019, o 15:05
Forum: Kółko matematyczne
Temat: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Odpowiedzi: 1396
Odsłony: 225265

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Oboje bardzo pięknie!

Zachęcam powymyślać podobne nierówności i ciachać kąt \(\displaystyle{ 60^o, 75^o, 90^o, 105^o, 120^o, 135^o, 150^o, 165^o}\) czy \(\displaystyle{ 180^o}\) na części mające \(\displaystyle{ 30^o, 45^o, 60^o, 90^o, 120^o, 135^o}\) czy \(\displaystyle{ 150^o}\).

Lub inne, mniej przyjemne dla oka wartości.