Matematyka.pl

Jedyna trudność w dowodzie jest wtedy, gdy a, b są przeciwnego znaku.

Wówczas pytanie o to (b.s.o. x=|a|, y=|b| ), czy zachodzi \left|x\sqrt{2}-y\sqrt{3}\right| \ge \frac{1}{350} jest równoważne nierówności po obustronnym pomnożeniu przez dodatnią liczbę \left|x\sqrt{2}+y\sqrt{3}\right| .

Innymi ...

Pomysł Arka można odpowiednio usprawnić i dostaniemy działające rozwiązanie.

Zauważmy, że dla trójki liczb (a, b, c) , takich że a=1,2 oraz b=c=0,9 , mamy f(a, b, c)=1 .

Następnie, pokażemy, że
2\left\lfloor xy \right\rfloor \le \left\lfloor x^2 \right\rfloor + \left\lfloor y^2 \right\rfloor + 1 ...

Rozwiązałem ten problem (nr 67), którego treść została niedawno poprawiona.

Mamy pokazać, że liczby
L = \frac{2n-1}{2} - \frac{2n-2}{3} + \frac{2n-3}{4} - \ldots - \frac{2}{2n-1} + \frac{1}{2n} - \frac{0}{2n+1}
oraz
P = \frac{1}{n+1} + \frac{3}{n+2} + \frac{5}{n+3} + \ldots + \frac{2n-5}{2n-2 ...

Arku, Twoje rozumowania zawierają dużo błędów. Spędź więcej czasu nad tym, co piszesz, bo piszesz rzeczy, które wprowadzają w błąd. Jesteś też bardzo przekonany do swoich rozumowań, zamiast poddać je surowszemu rygorowi matematycznemu.

Zgadzam się do miejsca:
1 \le \left\{ k\frac{r_{1}}{n}\right ...

Niestety nie rozumiem, dlaczego nagle kr_1, kr_2 zastępujesz przez kn, kr . To, że r_1+r_2=n+r wcale nie znaczy, że możesz te rzeczy zastąpić w każdym poprzednim wyrażeniu (w szczególności w tych częściach ułamkowych). Ponadto, zwróć uwagę, że takie r nie musi już być względnie pierwsze z n (wtedy ...

Wystarczy też użyć nierówności między średnią arytmetyczną a harmoniczną dla 2n+2 liczb: n, n+1, \ldots, 3n+1 (lub, równie dobrze, ich odwrotności, bo to będzie równoważne).

Myślę jednak, że najzgrabniej ten pomysł zapisać używając nierówności Cauchy'ego-Schwarza w formie Engela:
\frac{1}{n ...

zad. 199 [...]
nie będę wdawał się w proste rachunki, tylko napiszę wynik:
(*) \left\lfloor k\frac{r_{1}}{n} \right\rfloor + \left\lfloor k\frac{r_{2}}{n} \right\rfloor-\left\lfloor k\frac{\varepsilon+r_{2}}{n} \right\rfloor+(-1)^c\left\lfloor k\frac{|\varepsilon - r_{1}|}{n} \right\rfloor=c-1 ...

9. szybciej

Niech nasze dodatnie liczby całkowite to a, b .

Jeśli d=NWD(a, b)>1 , to d|a+b oraz d|ab , więc liczby a+b oraz ab nie są względnie pierwsze.

Jeśli natomiast NWD(a, b)=1 , to z algorytmu Euklidesa NWD(a+b, a)=NWD(b, a)=1 , analogicznie też NWD(a+b, b)=1 , co oznacza już, że NWD(a+b ...

Zadanie 100.

Oczywiście dotychczasowe rozwiązanie: Małe tw. Fermata \Rightarrow ten iloczyn dzieli się przez wszystkie nieparzyste liczby pierwsze \le n \Rightarrow teza musi zostać uzupełnione o sytuacje, gdy n zawiera w swoim rozkładzie jakąś liczbę pierwszą w potędze większej niż 1 ...

Wzięło mnie na wspomnienia, bo kojarzyłem tę nierówność jako pierwsze zadanie, które rozwiązałem te ponad 17 lat temu w dziale "Kółko matematyczne".

Jakże byłem zdziwiony, że moje ówczesne rozwiązanie okazało się kompletnym blefem, którego dodatkowo nikt nie wykrył ;)

Spróbujmy raz jeszcze ...

Cieszę się, że się podjęliście wyzwanie :)

ad. 162 - mol -u, a co z drugim podpunktem zadania z KMDO?

ad. 192 - komentarz dla bosej_Nike - jak to wymyśliłem:
Użyjmy nierówności między średnimi potęgowymi
\sqrt[k]{\frac{a^k+b^k}{2}} \le \sqrt[n+1]{\frac{a^{n+1}+b^{n+1}}{2}}
dla k=1, 2, \ldots ...

Czas jeszcze raz odświeżyć temat :)

Wraz z Jan Kraszewski zaaktualizowaliśmy listę rozwiązanych zadań (wraz z dodaniem rozwiązań). Od... 2010 roku:
* zad. 52. zostało rozwiązane, i to na 2 sposoby,
* doszły inne sposoby do zad. 151 i 154,
* w innym temacie zlokalizowano poprawną treść do zad. 169 ...

A zadanie 1. okazało się statystycznie trudniejsze niż 2. i 3.

Co do Twojego pytania - OMJ w komentarzach pod swoim postem na FB napisało tak:

Pytanie: Pytanie do organizatorów: Czym podyktowane było ograniczenie liczby finalistów do 120? Patrząc na minione lata było to:
2023: 168
2022: 159
2021 ...

Aczkolwiek w komentarzach pod jednym z ostatnich postów na FB OMJ właśnie zobaczyłem taki wpis:

[...] przeprowadzamy ankietę wśród uczestników zawodów II stopnia i jej dotychczasowe wyniki (ponad 300 głosów) wskazują na to, że za najłatwiejsze uważane jest zadanie 2. Zadanie 1 oceniane jest jako ...

Myślę, że przeszacowałeś trudność zadania 3. - jednak ono było takim absolutnie standardowym zadaniem na przystawanie trójkątów.

Ja swoich uczniów uczę zaznaczania boków o jednakowej długości jednakowym kolorem (jak nie ma kolorów, kreatywnie wybrnąć z problemu). Wtedy jeśli też odcinek z tezy ...