Znaleziono 2555 wyników

autor: Sylwek
15 paź 2019, o 08:18
Forum: Kółko matematyczne
Temat: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Odpowiedzi: 997
Odsłony: 123709

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Nowe zadanie: w rzeczywistych dodatnich x_1, x_2, \ldots x_n ( n>3 ) spełniających warunek x_1 x_2\ldots x_n=1 proszę udowodnić, że \frac{1}{1+x_1+x_1x_2} +\frac{1}{1+x_2+x_2x_3}+\ldots+\frac{1}{1+x_n+x_n x_1}>1 Z racji warunku na iloczyn, można podstawić x_i=\frac{a_{i+1}}{a_i} dla pewnych liczb a...
autor: Sylwek
7 paź 2019, o 01:07
Forum: Polska Olimpiada Matematyczna
Temat: LXXI OM
Odpowiedzi: 5
Odsłony: 1311

Re: LXXI OM

Oczywiście na zrobienie tego zadania był jedyny słuszny sposób. Ale pokopmy tu trochę. Jeśli przez f(n) oznaczymy liczbę możliwych różnych wartości \lfloor \frac{n}{k} \rfloor , to podsumowując wnioski z zadania 1., dostajemy że f(n) \le 2 \sqrt{n} + 1 . W jednym z przypadków była jednak nierówność...
autor: Sylwek
7 cze 2019, o 01:29
Forum: Przekształcenia algebraiczne
Temat: Układ i iloczyn
Odpowiedzi: 3
Odsłony: 606

Re: Układ i iloczyn

Zaprezentuję podejście geometryczne - bo forma 3 równań zasugerowała mi twierdzenie kosinusów. Jeśli xyz=0 , to jedna z liczb a,b,c jest równa zero, a dwie pozostałe są równe co do modułu, więc teza jest oczywista. Jeśli xyz\neq 0 , zauważmy, że w trójce (x,y,z) spełniającej ten układ równań nie moż...
autor: Sylwek
27 maja 2019, o 19:12
Forum: Kombinatoryka i matematyka dyskretna
Temat: W pewnej grupie osób
Odpowiedzi: 2
Odsłony: 197

Re: W pewnej grupie osób

Gdyby teza nie była prawdziwa, to każdy znałby kogoś, kto ma więcej znajomych od niego - sprzeczność z zasadą maksimum.
autor: Sylwek
27 maja 2019, o 09:25
Forum: Planimetria
Temat: Iloczyny naprzeciwległych pól w czworokącie
Odpowiedzi: 3
Odsłony: 303

Re: Iloczyny naprzeciwległych pól w czworokącie

Musi być to w czworokącie wypukłym. Można także po prostu popatrzeć ze zwyczajnej perspektywy podstawy i wysokości - jeśli opuścimy na przekątną BD wysokości h_1 i h_2 , odpowiednio z punktów A i C , to oba iloczyny są równe \frac{1}{4}BS \cdot h_1 \cdot DS \cdot h_2 - zatem są równe. P.S. Jak widać...
autor: Sylwek
21 kwie 2019, o 12:00
Forum: Teoria liczb
Temat: Rozkład z przesunięciem
Odpowiedzi: 12
Odsłony: 1073

Re: Rozkład z przesunięciem

Postaram się rozwiązać zadanie po poprawce Premislava . Zrobimy zadanie ogólniejsze. Umówmy się, że \mathbb{N} = \{0,1,2,...\} . Załóżmy, że mamy niepuste zbiory \{A_k\}_{k\in \mathbb{N}} takie, że \mathbb{N} = \dot\bigcup_{k\in \NN}A_k Ponadto niech dla każdego k oraz n\in \mathbb{N} istnieje l ta...
autor: Sylwek
31 mar 2019, o 15:05
Forum: Kółko matematyczne
Temat: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Odpowiedzi: 997
Odsłony: 123709

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Oboje bardzo pięknie!

Zachęcam powymyślać podobne nierówności i ciachać kąt \(\displaystyle{ 60^o, 75^o, 90^o, 105^o, 120^o, 135^o, 150^o, 165^o}\) czy \(\displaystyle{ 180^o}\) na części mające \(\displaystyle{ 30^o, 45^o, 60^o, 90^o, 120^o, 135^o}\) czy \(\displaystyle{ 150^o}\).

Lub inne, mniej przyjemne dla oka wartości.
autor: Sylwek
30 mar 2019, o 10:47
Forum: Kółko matematyczne
Temat: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Odpowiedzi: 997
Odsłony: 123709

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Pozwolę sobie wkleić podobne rozwiązanie tego z tangensem, bo zacząłem pisać wcześniej i miałem to dziś umieścić Ponieważ \tg\left( a_i-\frac \pi 4\right) \in (-1, 1) , to żeby ta suma n+1 składników mogła być \ge n-1 , to maksymalnie jeden z tych składników może być ujemny. Najpierw ogarniemy pierw...
autor: Sylwek
23 mar 2019, o 20:56
Forum: Inne konkursy ogólnopolskie
Temat: GMiL - 2018/2019
Odpowiedzi: 26
Odsłony: 2058

Re: GMiL - 2018/2019

Próbowałem zrobić to zad. 18 w całym Z_+ i okazało się, że istnieją inne rozwiązania niż te powstające z (13,7,6) . Dla ciekawych i na przyszłość - napiszę coś więcej. Podpowiedziała mi osoba, która mocno siedzi w teorii liczb, więc podzielę się z Wami metodą, która pozwala zrobić takie rzeczy. O il...
autor: Sylwek
22 mar 2019, o 13:08
Forum: Inne konkursy ogólnopolskie
Temat: GMiL - 2018/2019
Odpowiedzi: 26
Odsłony: 2058

Re: GMiL - 2018/2019

O 18 powiem trochę więcej - kilka obserwacji, nie wszystkie przydatne . Starałem się rozwiązać problem w ogólności - dla a,b,c \in Z_+ , ale póki co mi się to nie udało. Jeśli NWD(a,b,c)=d , czyli a=dA , b=dB , c=dC , gdzie NWD(A,B,C)=1 , to \frac{a^3+b^3}{a^3+c^3}=\frac{A^3+B^3}{A^3+C^3} , więc moż...
autor: Sylwek
22 mar 2019, o 10:12
Forum: Teoria liczb
Temat: Coś na drugi dzień wiosny
Odpowiedzi: 1
Odsłony: 252

Re: Coś na drugi dzień wiosny

Testując różne rzeczy zauważyłem, że dla m=-\frac{1}{4} lewa strona ma wartość -3 , co od razu sugeruje przerzucenie tej -3 z prawej na lewą i wyciągnięcie czegoś przed nawias. I rzeczywiście, wychodzi postać równoważna (4m+1)(m^2+3)=3p^n . To już z górki Warto teraz zbadać NWD dwóch nawiasów po lew...
autor: Sylwek
18 mar 2019, o 00:14
Forum: Inne konkursy ogólnopolskie
Temat: GMiL - 2018/2019
Odpowiedzi: 26
Odsłony: 2058

GMiL - 2018/2019

Zad. 5. Gdy spojrzymy na rysunek pierwszy w pierwszym i drugim rzędzie to zauważymy że ścianka pudełka nie kończy się na „końcu” czwartego kwadracika. Ale kończy się tuż za nim... JK Ja uznałem, że to wystarczy, żeby ten 5. klocek się "utrzymał". Choć, oczywiście - przyznaję rację, sam szukałem w t...
autor: Sylwek
16 mar 2019, o 23:27
Forum: Inne konkursy ogólnopolskie
Temat: GMiL - 2018/2019
Odpowiedzi: 26
Odsłony: 2058

Re: GMiL - 2018/2019

Ajć, policzyłem wg moich oznaczeń \(\displaystyle{ y}\), a \(\displaystyle{ |BC|}\) miał u mnie \(\displaystyle{ 3y}\). To wyjdzie mi tyle, co Wam
autor: Sylwek
16 mar 2019, o 20:25
Forum: Inne konkursy ogólnopolskie
Temat: GMiL - 2018/2019
Odpowiedzi: 26
Odsłony: 2058

GMiL - 2018/2019

W tym roku widzę temat jeszcze nie powstał - czas to zmienić Dziś był 2. etap. W ogóle miałem wyjątkowe problemy z wysłaniem odpowiedzi - próbowałem wysłać o 16:56, ale serwery PWr się zawiesiły. Zanim mi "zjadło" formularz, widząc problemy, udało mi się zrobić screeny wszystkich odpowiedzi, i wysła...
autor: Sylwek
10 mar 2019, o 19:38
Forum: Teoria liczb
Temat: Podciągi z kwadratami
Odpowiedzi: 8
Odsłony: 735

Re: Podciągi z kwadratami

I bardzo słusznie dobrze, żeś to dokończył bo mi się już nie za bardzo chciało formalizować do końca... Dokończyłem, ale tu nie chodzi o niechęć do formalizacji - bo to mógłbyś powiedzieć, gdybyś podał jasną ideą wraz z oczywistym kierunkiem dokończenia. Twoje rozumowanie nie wskazywało, że szukane...