Znaleziono 2558 wyników

autor: Sylwek
11 lip 2020, o 22:14
Forum: Kółko matematyczne
Temat: [MIX] Zadania rezerwowe
Odpowiedzi: 5
Odsłony: 342

Re: [MIX] Zadania rezerwowe

Z AM>=GM: \frac{2}{3}=\frac{x+e^x}{3}=\frac{\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+e^x}{3} \ge \sqrt[3]{\frac{x^2}{4}e^x}=\sqrt[3]{\frac{1}{2}} . Równoważnie: \frac{8}{27} \ge \frac{1}{2} , czyli 16 \ge 27 . Jest to sprzeczne - zatem brak rzeczywistych rozwiązań tego układu równań. --- [EDIT] Jeszcze nie zadbałem...
autor: Sylwek
30 lis 2019, o 15:29
Forum: Kółko matematyczne
Temat: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb
Odpowiedzi: 133
Odsłony: 21055

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Tak, jest OK! Dokładnie o to mi chodziło :) Co do Twojego zadania - skoro mamy rozwiązać to równanie w liczbach całkowitych dodatnich, to prawa strona jest większa od zera, zatem lewa też, a stąd m > n . Mamy m^3-n^3=(m-n)(m^2+mn+n^2)=7mn+5 . Ponieważ m>n , to m^2+mn+n^2=(m-n)^2+3mn>3mn . Intuicja j...
autor: Sylwek
8 lis 2019, o 02:14
Forum: Kółko matematyczne
Temat: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb
Odpowiedzi: 133
Odsłony: 21055

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Niech p\ge 5 będzie liczbą pierwszą. Niechaj N=(p-1)^{p}+1 i niech N=\prod_{i=1}^{n}p_i^{\alpha_i} (rozkład N na czynniki pierwsze). Proszę wykazać, że \sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}p_{i}\ge \frac{p^{2}}{2} Przy p \ge 5 liczba N=(p-1)^p+1 jest nieparzysta i z racji p-1\equiv 0 \ (mod \ 3) lub p-1\equiv 1...
autor: Sylwek
15 paź 2019, o 08:18
Forum: Kółko matematyczne
Temat: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Odpowiedzi: 1141
Odsłony: 138299

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Nowe zadanie: w rzeczywistych dodatnich x_1, x_2, \ldots x_n ( n>3 ) spełniających warunek x_1 x_2\ldots x_n=1 proszę udowodnić, że \frac{1}{1+x_1+x_1x_2} +\frac{1}{1+x_2+x_2x_3}+\ldots+\frac{1}{1+x_n+x_n x_1}>1 Z racji warunku na iloczyn, można podstawić x_i=\frac{a_{i+1}}{a_i} dla pewnych liczb a...
autor: Sylwek
7 paź 2019, o 01:07
Forum: Polska Olimpiada Matematyczna
Temat: LXXI OM
Odpowiedzi: 24
Odsłony: 5412

Re: LXXI OM

Oczywiście na zrobienie tego zadania był jedyny słuszny sposób. Ale pokopmy tu trochę. Jeśli przez f(n) oznaczymy liczbę możliwych różnych wartości \lfloor \frac{n}{k} \rfloor , to podsumowując wnioski z zadania 1., dostajemy że f(n) \le 2 \sqrt{n} + 1 . W jednym z przypadków była jednak nierówność...
autor: Sylwek
7 cze 2019, o 01:29
Forum: Przekształcenia algebraiczne
Temat: Układ i iloczyn
Odpowiedzi: 3
Odsłony: 725

Re: Układ i iloczyn

Zaprezentuję podejście geometryczne - bo forma 3 równań zasugerowała mi twierdzenie kosinusów. Jeśli xyz=0 , to jedna z liczb a,b,c jest równa zero, a dwie pozostałe są równe co do modułu, więc teza jest oczywista. Jeśli xyz\neq 0 , zauważmy, że w trójce (x,y,z) spełniającej ten układ równań nie moż...
autor: Sylwek
27 maja 2019, o 19:12
Forum: Kombinatoryka i matematyka dyskretna
Temat: W pewnej grupie osób
Odpowiedzi: 2
Odsłony: 279

Re: W pewnej grupie osób

Gdyby teza nie była prawdziwa, to każdy znałby kogoś, kto ma więcej znajomych od niego - sprzeczność z zasadą maksimum.
autor: Sylwek
27 maja 2019, o 09:25
Forum: Planimetria
Temat: Iloczyny naprzeciwległych pól w czworokącie
Odpowiedzi: 3
Odsłony: 429

Re: Iloczyny naprzeciwległych pól w czworokącie

Musi być to w czworokącie wypukłym. Można także po prostu popatrzeć ze zwyczajnej perspektywy podstawy i wysokości - jeśli opuścimy na przekątną BD wysokości h_1 i h_2 , odpowiednio z punktów A i C , to oba iloczyny są równe \frac{1}{4}BS \cdot h_1 \cdot DS \cdot h_2 - zatem są równe. P.S. Jak widać...
autor: Sylwek
21 kwie 2019, o 12:00
Forum: Teoria liczb
Temat: Rozkład z przesunięciem
Odpowiedzi: 12
Odsłony: 1283

Re: Rozkład z przesunięciem

Postaram się rozwiązać zadanie po poprawce Premislava . Zrobimy zadanie ogólniejsze. Umówmy się, że \mathbb{N} = \{0,1,2,...\} . Załóżmy, że mamy niepuste zbiory \{A_k\}_{k\in \mathbb{N}} takie, że \mathbb{N} = \dot\bigcup_{k\in \NN}A_k Ponadto niech dla każdego k oraz n\in \mathbb{N} istnieje l ta...
autor: Sylwek
31 mar 2019, o 15:05
Forum: Kółko matematyczne
Temat: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Odpowiedzi: 1141
Odsłony: 138299

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Oboje bardzo pięknie!

Zachęcam powymyślać podobne nierówności i ciachać kąt \(\displaystyle{ 60^o, 75^o, 90^o, 105^o, 120^o, 135^o, 150^o, 165^o}\) czy \(\displaystyle{ 180^o}\) na części mające \(\displaystyle{ 30^o, 45^o, 60^o, 90^o, 120^o, 135^o}\) czy \(\displaystyle{ 150^o}\).

Lub inne, mniej przyjemne dla oka wartości.
autor: Sylwek
30 mar 2019, o 10:47
Forum: Kółko matematyczne
Temat: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Odpowiedzi: 1141
Odsłony: 138299

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Pozwolę sobie wkleić podobne rozwiązanie tego z tangensem, bo zacząłem pisać wcześniej i miałem to dziś umieścić Ponieważ \tg\left( a_i-\frac \pi 4\right) \in (-1, 1) , to żeby ta suma n+1 składników mogła być \ge n-1 , to maksymalnie jeden z tych składników może być ujemny. Najpierw ogarniemy pierw...
autor: Sylwek
23 mar 2019, o 20:56
Forum: Inne konkursy ogólnopolskie
Temat: GMiL - 2018/2019
Odpowiedzi: 26
Odsłony: 3096

Re: GMiL - 2018/2019

Próbowałem zrobić to zad. 18 w całym Z_+ i okazało się, że istnieją inne rozwiązania niż te powstające z (13,7,6) . Dla ciekawych i na przyszłość - napiszę coś więcej. Podpowiedziała mi osoba, która mocno siedzi w teorii liczb, więc podzielę się z Wami metodą, która pozwala zrobić takie rzeczy. O il...
autor: Sylwek
22 mar 2019, o 13:08
Forum: Inne konkursy ogólnopolskie
Temat: GMiL - 2018/2019
Odpowiedzi: 26
Odsłony: 3096

Re: GMiL - 2018/2019

O 18 powiem trochę więcej - kilka obserwacji, nie wszystkie przydatne . Starałem się rozwiązać problem w ogólności - dla a,b,c \in Z_+ , ale póki co mi się to nie udało. Jeśli NWD(a,b,c)=d , czyli a=dA , b=dB , c=dC , gdzie NWD(A,B,C)=1 , to \frac{a^3+b^3}{a^3+c^3}=\frac{A^3+B^3}{A^3+C^3} , więc moż...
autor: Sylwek
22 mar 2019, o 10:12
Forum: Teoria liczb
Temat: Coś na drugi dzień wiosny
Odpowiedzi: 1
Odsłony: 327

Re: Coś na drugi dzień wiosny

Testując różne rzeczy zauważyłem, że dla m=-\frac{1}{4} lewa strona ma wartość -3 , co od razu sugeruje przerzucenie tej -3 z prawej na lewą i wyciągnięcie czegoś przed nawias. I rzeczywiście, wychodzi postać równoważna (4m+1)(m^2+3)=3p^n . To już z górki Warto teraz zbadać NWD dwóch nawiasów po lew...
autor: Sylwek
18 mar 2019, o 00:14
Forum: Inne konkursy ogólnopolskie
Temat: GMiL - 2018/2019
Odpowiedzi: 26
Odsłony: 3096

GMiL - 2018/2019

Zad. 5. Gdy spojrzymy na rysunek pierwszy w pierwszym i drugim rzędzie to zauważymy że ścianka pudełka nie kończy się na „końcu” czwartego kwadracika. Ale kończy się tuż za nim... JK Ja uznałem, że to wystarczy, żeby ten 5. klocek się "utrzymał". Choć, oczywiście - przyznaję rację, sam szukałem w t...