Matematyka.pl

Skorzystamy najpierw z faktu, iż liczby postaci \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\vartheta}\) dla dowolnej liczby rzeczywistej \(\vartheta\) leżą na okręgu jednostkowym, czyli ich moduł to \(1\). Mamy z^{3} + \mathrm{i} = x^{3} - 3xy^{2} + \left(3x^{2}y - y^{3} + 1\right)\mathrm{i}, czyli \left\lvert\mathrm{...

Zauważmy najpierw, iż \(4f_5 = f_3 - f_4\) oraz \(2f_6 = f_3 + f_4\), a więc \(f_5\) i \(f_6\) są w podprzestrzeni liniowej generowanej przez \(f_1\), \(f_2\), \(f_3\) oraz \(f_4\). Wektory \(f1\), \(f_2\), \(f_3\) oraz \(f_4\) są natomiast liniowo niezależne. Aby się o tym przekonać, ustalmy dowoln...

Przykład jest dobry, chociaż można podać prostszy. Niechaj \(a = 1\) i \(b = 4\) w grupie \((\mathbf{Z}_{15}, +)\). Element \(1\) jest rzędu \(15\), element \(4\) również, ich suma zaś to \(5\), a jest to rzędu \(3\).

Rozwiązanie punktu 1. Załóżmy, iż \(v \in \mathrm{Ker}(\varphi + \psi)\). Oznacza to, iż \(\varphi(v) + \psi(v) = 0\), a więc też dzięki jednorodności odwzorowania \(\psi\) mamy \(\varphi(v) = -\psi(v) = \psi(-v)\). W szczególności, \(\varphi(v)\) jest i w obrazie odwzorowania \(\varphi\), i w obra...

Dobrze, prō pūblicō bonō opiszę na tym przykładzie metodę wielomianu charakterystycznego, gdyż ta metoda jest zdecydowanie najlepsza do rozwiązywania liniowych zależności rekurencyjnych. Zapisujemy naszą rekurencję jako a_{n} - 3a_{n - 1} - 10a_{n - 2} = -\frac{7}{5}\cdot 5^{n}. Układamy teraz wielo...

O, dobrze wiedzieć. Dziękuję wielce!

Skorzystam w mym rozwiązaniu z dobrze znanego faktu, iż jeśli złożenie \(h \circ g\) jest różnowartościowe, to samo odwzorowanie \(g\) także musi być różnowartościowe. Oznaczmy formułę P(x, y): \quad f\bigl(2f(x) + f(y)\bigr) = 2x + f(y). [/color] Mamy P(x, 0) : \quad f\bigl(2f(x) + f(0)\bigr) = 2x ...

Zadanie 4 z I etapu Polskiej Olimpiady Matematycznej 1992/1993. Wyznaczyć wszystkie funkcje \(f \colon \mathbf{R} \longrightarrow \mathbf{R}\) spełniające f(x + y) - f(x - y) = f(x)f(y) dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\). Rozwiązanie. Określmy formułę P(x, y) : \quad f(x + y) - f(x - y...

Dzień dobry, Chciałem poinformować, a przy okazji się zareklamować, iż niedawno założyłem anglojęzyczny kanał na YouTube , poświęcony matematyce. Rozwiązuję na nim zadania z olimpiad matematycznych z całego świata, czasem również z Polski. Oprócz zadań olimpijskich poziomu licealnego rozwiązuję też ...