Matematyka.pl

Nie studiuję, uczę się sam dla siebie, mając jedynie skrypt. Czasami dla Was bardzo oczywiste fakty nie są dla mnie oczywiste, przepraszam.
Spróbuję w ten sposób:

\{x\in X:f(x)=g(x)\}=\{x\in X:f(x)-g(x)=0\}=\{x\in X:(f-g)(x)=0\}=(f-g)^{-1}[\{0\}]

\{0\} jest domknięty, f-g jest ciągła ...

To jest zupełnie inna własność. Czym innym jest powyższa gęstość porządku na liczbach wymiernych, a czym innym fakt (który Cię interesuje), że liczby wymierne leżą gęsto w rzeczywistych.

JK


Dziękuję za Twoją uwagę, już zrozumiałem swój błąd. Postaram się nad tym dowodem jeszcze pochylić ...

Dziękuję za komentarz. A gdybym pokazał, że dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b\in\mathbb{Q}}\) takich, że \(\displaystyle{ a<b}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ a<\frac{a+b}{2}<b}\) no i oczywiście \(\displaystyle{ \frac{a+b}{2}\in\mathbb{Q}}\).

Dziękuję pięknie a4karo za pomoc i wszystkie uwagi, jest to dla mnie bezcenne. Pozdrawiam.

Pokaż, że przestrzeń liczb rzeczywistych z topologią naturalną prostej jest przestrzenią ośrodkową.

Tutaj mam bardziej pytanie takie, czy uznajemy za ogólny fakt, że \mathbb{Q} jest gęsty w \mathbb{R} oraz, że jest przeliczalny, czyli mamy po zadaniu, czy właśnie muszę te dwa fakty formalnie ...

Dziękuję Tobie za komentarz a4karo. Rozumiem, że tamta część jest poprawna? W drugą stronę spróbuję tak:

Niech X będzie dyskretna, tzn. każdy podzbiór A\subset X jest otwarty. W szczególności f^{-1}(B) jest otwarty w X dla dowolnego otwartego podzbioru B\subset \mathbb{R} , a więc f jest ciągła.

Dobry wieczór, ze względu na prywatne sprawy nie miałem wcześniej chwili aby opublikować swoją próbę rozwiązania - przepraszam.
Poczytałem trochę o wskazówce a4karo i wymyśliłem coś takiego, proszę o weryfikację:

Weźmy dowolny podzbiór A\subset X i rozpatrzmy funkcję charakterystyczną zbioru A ...

Często gdy czytam inne rozwiązania zadań na tym forum, to dużo się uczę, można podejrzeć różne myki itd. Próbowałem też znaleźć jakiś zbiór zadań z topologii z rozwiązaniami do przestudiowania, ale nic nie znalazłem. Czasami ciężko ruszyć, ale jak się ruszy, to już jakoś idzie. Niestety nie ten sam ...

Rozumiem jakby to co napisałeś i nawet dokładnie tak samo myślałem po przeczytaniu własności przestrzeni dyskretnej, ale mam problem jak to wszystko formalnie zapisać. Może w jakiejś książce jest taki dowód?

Pokazać, że przestrzeń topologiczna \(\displaystyle{ X}\) jest dyskretna wtedy i tylko wtedy, gdy każda funkcja rzeczywista \(\displaystyle{ f}\) określona na \(\displaystyle{ X}\) jest ciągła.

Dziękuję pięknie! Już rozumiem w tym drugim sposobie o co chodzi, przypuszczamy, że przekrój otoczeń jest pusty i dochodzimy do sprzeczności, zatem jest niepusty. Co do tej poprawki w I części zadania, źle przepisałem tutaj na forum z kartki na której rozwiązałem. Dziękuję za poprawienie.

Próbowałem odpowiedzieć na to pytanie. Rozumiem, że nie jest to poprawne uzasadnienie?

Niech X będzie zbiorem nieskończonym i niech \alpha=\{A\subset X: X \setminus A\,\,\text{jest skończony}\} \cup \{\emptyset\} .


(I część zadania)

Pokazać, że \alpha jest topologią na X , która nie jest przestrzenią Hausdorffa.

1) \emptyset\in\alpha,\,\,\,\,X \setminus \emptyset=X\in\alpha

2 ...

To może tak: skoro Y- gęsty, to dla dowolnego otwartego otoczenia punkt x prawie wszystkie elementy ciągu \{x_n\} należą do tego otoczenia?

Dodano po 2 minutach 59 sekundach:

Bo Dasio11 nakreślił swoim pierwszym postem czysto topologiczną (i elegancką) drogę rozwiązania. I każdy postem się do ...

Czy taki dowód jest poprawny?
Tak, ale zapewne nie o taki dowód chodziło. Pokaż, że

Y \subset \{ x \in X : f(x) = g(x) \}.
Domknięte nadzbiory zbiorów gęstych są całością lub bo do tego się to sprowadza, że domknięcie zachowuje inkluzję; A \subset B \Rightarrow \cl A \subset \cl B ...