Matematyka.pl

Jaka jest parametryzacja krzywej \(\displaystyle{ x^{3/2}+y^{3/2}=1 }\)?

Znaleźć dwie zmienne losowe, których kowariancja jest równa zero, lecz zmienne te nie są niezależne.

Pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ X}\), \(\displaystyle{ Y}\) są niezależnymi zmiennymi losowymi oraz \(\displaystyle{ f, g : \RR \to \RR}\) są funkcjami borelowskimi, to \(\displaystyle{ f \circ X}\) oraz \(\displaystyle{ g \circ Y}\) też są niezależnymi zmiennymi losowymi.

Niech X będzie funkcją charakterystyczną przedziału \(\displaystyle{ [0, \frac{1}{2})}\), zaś Y będzie funkcją charakterystyczną zbioru \(\displaystyle{ [0, \frac{1}{4}) \cup [ \frac{1}{2}, \frac{3}{4})}\). Pokazać, że \(\displaystyle{ X}\), \(\displaystyle{ Y}\) są niezależnymi zmiennymi losowymi na \(\displaystyle{ Ω = [0, 1]}\) ze zbiorami borelowskimi i miarą Lebesgue’a.

Niech \(\displaystyle{ Q = (X, Y)}\)) będzie losowo wybranym punktem z kwadratu z koła o promieniu 1. Po wybraniu punktu \(\displaystyle{ Q}\) rysujemy cięciwę o środku w punkcie \(\displaystyle{ Q}\). Niech Z będzie długością tej losowej cięciwy. Znaleźć rozkład zmiennej \(\displaystyle{ Z}\). Wystarczy obliczyć dystrybuantę.

Niech \(\displaystyle{ (X, F)}\), \(\displaystyle{ (Y, G) }\) będą przestrzeniami mierzalnymi oraz \(\displaystyle{ G = σ(A)}\). Pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ f : X \rightarrow Y}\) oraz \(\displaystyle{ f ^{-1}(A) \subset F}\), to \(\displaystyle{ f}\) jest odwzorowaniem mierzalnym, tzn. \(\displaystyle{ f ^{-1}(G) \subset F}\).

Tenisiści grają do momentu wygrania trzech setów pod rząd, ale liczba setów nie jest niczym ograniczona. Pokazać, że z prawdopodobieństwem 1 tenisiści rozegrają skończoną liczbę setów. Wskazówka: Można skorzystać z lematu B-C. W jezyku zmiennych losowych zadanie polega na pokazaniu, że P(Y < \infty ...