Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ a,b \in \mathbb{R}}\).
Udowodnić, że:
\(\displaystyle{ 8(a^{4}+b^{4}) \ge (a+b)^{4}}\).

\begin{cases} 2xy-z ^{2} \ge 1 &\text{(1) } \\ z-\left| x+y\right| \ge -1 &\text{(2) } \end{cases} (2): z+1 \ge \left| x+y\right| (z+1) ^{2} \ge (x+y) ^{2} z ^{2} +2z+1 -x ^{2}-2xy-y ^{2} \ge 0 (1): 2xy-z ^{2} \ge 1/ \cdot 2 4xy-2z ^{2}-2 \ge 0 (1)+(2): z ^{2}-2z ^{2}+2z+1-2-x ^{2}-2xy+4xy-...

Wyznaczyć wszystkie rzeczywiste rozwiązania układu nierówności:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2xy-z ^{2} \ge 1 , \\ z-\left| x+y\right| \ge -1 . \end{cases} }\)

\sqrt{c(a-c)} + \sqrt{c(b-c)} \le \sqrt{ab} podnosimy stronami do kwadratu c(a-c)+c(b-c)+2c \sqrt{(a-c)(b-c)} \le ab 2c \sqrt{(a-c)(b-c)} \le ab-c(a-c)-c(b-c) 2c \sqrt{(a-c)(b-c)} \le ab-ca+c^{2}-cb+c^{2} 2c \sqrt{(a-c)(b-c)} \le a(b-c)-c(b-c)+c ^{2} 2c \sqrt{(a-c)(b-c)} \le (a-c)(b-c)+c^{2} 0 \le ...

Niech \(\displaystyle{ 0 \le k \le m}\) będą liczbami całkowitymi. Udowodnić równości:

\(\displaystyle{ \sum_{j=0}^{2m-1}(-1) ^{j} \cos \frac{jk\pi}{m} = \begin{cases} 0, &\text{gdy } k<m;\\ 2m, &\text{gdy } k=m. \end{cases} }\)

Chyba udało mi się teraz udowodnić to indukcyjnie, ale Wasze sposoby wyglądają przystępniej. \sum_{k=1}^{n} {n \choose k} ka^{k}b^{n-k}=na(a+b)^{n-1} dla n=1 : L= {1 \choose 1}a^{1}b^{0}=a P=a(a+b)^{0}=a=L i potem... ( n+1 ): P=(n+1)a(a+b)^{n} L=\sum_{k=1}^{n+1} {n+1 \choose k} ka^{k}b^{n+1-k}= \sum...

Udowodnić, że dla dowolnych \(\displaystyle{ a, b \in \mathbb{R}}\) oraz dowolnego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\) prawdziwa jest równość:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} {n \choose k} ka^{k}b^{n-k}=na(a+b)^{n-1}}\) .

\(\displaystyle{ 4\log_{16}\cos 2x+2\log_{4}\sin x+\log_{2}\cos x+3<0}\)
Wyznaczyć rozwiązania w przedziale \(\displaystyle{ 0<x< \frac{ \pi }{4} }\).

Dziękuję Arku. Mi też miło się z Tobą rozmawia

Wiara chrześcijańska nie skutkuje rezygnacją z dociekań o prawdzie. Jednak, idąc twoim tokiem myślenia, Arku, ja również jestem człowiekiem stworzonym przez Boga, Stwórcę. Czuję, że żyję, posiadam i eksploruję własne emocje. W twojej filozofii, jestem istotą żyjącą.

Pozostaje tylko zaufać... a specyficzny nie zawsze musi mieć wydźwięk negatywny drogi Arku, ponieważ jestem bardzo sympatycznym facetem :wink: Jeżeli o zagadkę chodzi, to skąd którekolwiek z nas ma wiedzieć, czy jesteśmy ludźmi faktycznymi z mięsa, krwi i kości, czy może to tylko złudzenie i steruje...

Mam nadzieję, że maszyną nie jestem... Chociaż nikt nie zna prawdziwej i jedynej zagadki i odpowiedzi Matki Ziemi. Lecz dla twojego spokoju, określam się: maszyną na chwilę obecną, tak jak czuję, nie jestem...

arek1357 pisze: ↑17 lis 2023, o 23:16 A tak na marginesie czy autor posta to nie sztuczna "inteligencja"???

Czy to do mnie??? Dlaczego tak sądzisz? arek1357? hmm??

Zbadać zbieżność szeregu

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n!}\left( \frac{n}{e}\right)^{n} }\)

Rozważmy pojedynczy składnik sumy: \cos(A_{i}-A_{j}) Korzystamy z tożsamości tryg.: \cos(A_{i}-A_{j})=\cos(A_{i})\cos(A_{j})+\sin(A_{i})\sin(A_{j}) wtedy: \sum_{i,j=1}^{n}\cos(A_{i}-A_{j})=\sum_{i,j=1}^{n}(\cos(A_{i})\cos(A_{j})+\sin(A_{i})\sin(A_{j}))= (\sum_{i=1}^{n}\cos(A_{i}))^{2}+(\sum_{i=1}^{n...