Matematyka.pl

Możesz to zobrazować jak do tego dojść?

Janusz Tracz pisze: ↑8 maja 2024, o 14:56 \(\displaystyle{ n^2+(n+1)^2+(n+2)^2-2=3 {n \choose 0} + 9 {n \choose 1} + 6 {n \choose 2}.}\)

Jak dojść do takiej formuły opisanej symbolami Newtona? Obracać kolejne nawiasy w wzór dwumianowy?

Jan Kraszewski pisze: ↑5 maja 2024, o 20:17 Uważna analiza Twojego pierwotnego rozwiązania też doprowadziłaby do poprawnej odpowiedzi.

Jak to przeanalizować?

Ale tego przekształcenia w 6 linijce nie rozumiem.

Niech \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) bedą rzeczywistymi rozwiązaniami równania \(\displaystyle{ ax^2 -4ax +1= 0}\) spełniającymi nierówność \(\displaystyle{ | \tg(m) - \tg(n) | \leq 1}\)
Wyznacz a.

No niestety nie, więc proszę o pomoc;)

@mol_książkowy wiesz jaka będzie odpowiedź do tego problemu?

Czyli ten układ równań to wzory Viete'a dla tego równania wielomianowego które napisał JHN?

A co przyjąłeś za zmienną t?

Znajdź wszystkie liczby całkowite \(n>1\), dla których wyrażenie: \(\frac{2^n-1}{n^2}\) jest liczbą całkowitą.

Dodano po 7 godzinach 19 minutach 53 sekundach:
Jakieś wskazówki?

Bazowy krok: Załóżmy, że a_1 = 1 i b_1 = 1 . Wtedy a_1(a_1+1) = 1 \cdot 2 = 2 dzieli b_1^2 + 1 = 1^2 + 1 = 2 . Krok indukcyjny: Przyjmijmy, że a_n(a_n+1) dzieli b_n^2+1 dla pewnego n . Chcemy znaleźć takie a_{n+1} i b_{n+1} , które spełniają warunek dla n+1 . Rozważmy liczbę k = b_n^2+1 . Chcemy zna...

Wprowadźmy oznaczenie: \(b_n = ka_{kn}\). Dla każdego \(n > N\), z warunku \(ka_{kn} \geq a_n\) wynika, że \(b_n \geq a_n\), ponieważ \(k > 1\) oraz ciąg \(a_n\) jest malejący. Stąd mamy: \[\sum_{n=N+1}^{\infty} b_n \geq \sum_{n=N+1}^{\infty} a_n.\] Z powyższą nierównością mamy już dostatecznie dużo...

\[S = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n.\] To jest nieskończony szereg geometryczny o pierwszym wyrazie \(a = 1\) i ilorazie \(r = \frac{2}{3}\). Suma takiego szeregu wynosi 3. możemy to podstawić do sumy z wyrażeniem kombinatorycznyn: \[\sum_{n=1}^{\infty} {n+k \choose k} \left(\frac{2...

Liczba \frac{a^2+b^2+c^2-1}{(1+a)(1+b)(1+c)} jest całkowita dla liczb naturalnych a, b, c , jeśli a, b i c spełniają pewne warunki. To są te warunki: 1. Liczba a^2+b^2+c^2-1 musi być podzielna przez (1+a)(1+b)(1+c) , czyli: \[a^2+b^2+c^2-1 \equiv 0 \pmod{(1+a)(1+b)(1+c)}.\] 2. (1+a)(1+b)(1+c) nie mo...

5. Załóżmy, że mamy trójkąt o długościach boków a, b i c, który spełnia warunek bycia trójkątem pitagorejskim pierwotnym, czyli a i b są względnie pierwsze. Promień koła wpisanego w ten trójkąt można wyrazić wzorem: \[ r = \frac{a \cdot b \cdot c}{4S}, \] gdzie S oznacza pole trójkąta. Ponieważ trój...