Matematyka.pl

Wyszło mi \(\displaystyle{ \frac{1}{4} }\). Chyba dobrze także dziękuję.

Mam do rozwiązania 2 przykłady:
a) \lim_{ x\to 1} \frac{\sin(1-x)}{ \sqrt{x}-1 }
Zastosowałem taki sposób rozwiązania ale nie mam pewności co do jego poprawności:
\lim_{ x\to 1} \frac{\sin(1-x)}{ \sqrt{x}-1 } = \lim_{x \to 1 } \frac{\sin(1-x)( \sqrt{x} +1)}{x-1} = \lim_{ x\to 1} \frac{\sin(1-x ...

Jak dojść do prawidłowego wyniku?
Moje obliczenia:
a _{n+1} = \frac{(n+1) ^{n+1} }{2 ^{n+1}(n+1)! }
\lim_{ n\to \infty } \frac{(n+1) ^{n+1} }{2 ^{n+1}(n+1)!} \cdot \frac{2 ^{n}n! }{n ^{n} }= \lim_{ n\to \infty } \frac{(n+1) ^{n+1} }{2 \cdot 2 ^{n} n!(n+1)} \cdot \frac{2 ^{n}n! }{n ^{n} } = \lim ...

Dwa przykłady do zrobienia:
a) \(\displaystyle{ \sum_{n=1 }^{ \infty } \frac{n ^{n} }{2 ^{n}n! } }\)

b) \(\displaystyle{ \sum_{n=1 }^{ \infty } \frac{n ^{n} }{3 ^{n}n! } }\)

W podpunkcie a) zastosowałem kryterium d'Alemberta i mi wyszło \(\displaystyle{ g = \frac{1}{2} }\) czyli szereg rozbieżny. Czy jest to poprawna odpowiedź?

Tylko się upewniałem, w każdym razie dziękuję za pomoc

Dziękuję serdecznie

Wiem że można rozdzielić tę granicę na dwie granice i granicę z licznika policzyć za pomocą twierdzenia o trzech ciągach, jednakże nie jestem pewien co do wyrażenia w mianowniku. Nie wiem w jaki sposób zastosować te twierdzenie w sytuacji gdy liczba 2 nie jest podniesiona do n-tej potęgi.

Czyli jeżeli pomnożymy szereg Dirichleta \(\displaystyle{ {\frac{1}{n ^{ \frac{5}{6} }}}}\) który jest rozbieżny przez jakąś liczbę, na przykład \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) albo \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}}\) to ten szereg dalej będzie rozbieżny?

a) \(\displaystyle{ \sum_{ n=1 }^{ \infty } \frac{\text{tgh}(n)}{n ^{ \frac{5}{6} } }}\)

b) \(\displaystyle{ \sum_{ n=1 }^{ \infty } \frac{\arctg(n)}{n ^{ \frac{5}{3} } }}\)