Matematyka.pl

Pokazać, że \(\displaystyle{ [1, 2)}\) nie jest ani otwarty ani domknięty w \(\displaystyle{ \RR}\). Pokazać, że ten zbiór jest otwarty w pewnej innej przestrzeni z metryką indukowaną z \(\displaystyle{ \RR}\), a domknięty w jeszcze innej przestrzeni.

Niech \(\displaystyle{ (x_n)}\) będzie ciągiem ograniczonym. Tworzymy nowe ciągi: \(\displaystyle{ a_n := \inf \{ x_k : k \ge n \}}\),
\(\displaystyle{ b_n := \sup \{ x_k : k \ge n \}}\). Wykazać, że są to ciągi zbieżne.