Matematyka.pl

Wykazać, że dla każdej liczby dodatniej a oraz dla każdej liczby dodatniej b prawdziwa jest nierowność 5\left( \frac{a^{2}}{b^{2}}+ \frac{b^{2}}{a^{2}} \right)+14 \ge 12\left( \frac{a}{b}+ \frac{b}{a} \right) . Dodano po 13 minutach 27 sekundach: Próbuję zrobić to w następujący sposób, tylko nie wie...

W trójkącie ABC , na boku AC leżą takie punkty D oraz F , że zachodzi zależność \left| CD\right|=\left| AF\right|=2\left| DF\right| , a na boku BC leżą takie punkty E oraz G , że prawdziwe są równości \left| CE\right|=\left| BG\right|=2\left| EG\right| . Wykaż, że \left| AB\right| =\left| DE\right|+...

Jak wyznaczyć największą wartość funkcji poniżej?
\(\displaystyle{ f(x)=\cos^{2}x- \cos x-12}\)

Mam obliczyć Ile jest liczb naturalnych dziesięciocyfrowych, w zapisie których nie występuje zero, jest dokładnie jedna 3, dokładnie dwie 7 i dokładnie jedna parzysta. 1) wybieram miejsce dla 3: {10\choose 1} =10 2) wybieram miejsce dla dwóch 7: {9 \choose 2}= \frac{9!}{2!7!}=36 3)wybieram miejsce d...

Jak policzyć taką granicę?
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\left[ 2^{n}- \frac{1+4+4^{2}+...+4^{n-1}}{2^{n}+1} \right] }\).
Najpierw znajduję sumę.
\(\displaystyle{ a_{1}=1, q=4,\\
S_n= \frac{1-4^n}{-3}}\).
Teraz nie wiem jak dalej sobie poradzić
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\left[ 2^{n}- \frac{4^n-1}{3(2^{n}+1)} \right]}\).

\frac{1}{ \sqrt{1} } + \frac{1}{ \sqrt{2} }+...+ \frac{1}{ \sqrt{n} } > \sqrt{n}. Dla n=1 mam równość. Zakładam, że wzór zachodzi dla n=k,\\ \frac{1}{ \sqrt{1} } + \frac{1}{ \sqrt{2} }+...+ \frac{1}{ \sqrt{k} } > \sqrt{k}. Dowodzę, że wzór zachodzi dla n=k+1,\\ \frac{1}{ \sqrt{1} } + \frac{1}{ \sqr...

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {2n+1 \choose k}. }\)
Czy można tak to zapisać?
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} \left[ {2n \choose k} + {2n \choose k-1} \right] }\)

Oblicz wartość funkcji \(\displaystyle{ f(x)=2^{x+2}}\) dla argumentu \(\displaystyle{ x= \sqrt{\log_4^{2}2+\log_4 3+\log_4^{2}3}. }\)

Dodano po 9 godzinach 22 minutach 36 sekundach:
Czy to co jest pod pierwiastkiem trzeba zwinąć do wzoru skróconego mnożenia?

W układzie współrzędnych na płaszczyźnie zaznaczyć wszystkie pary \(\displaystyle{ P(x,y)}\), takie że
\(\displaystyle{ \log_x(\log_y x)>0.}\)
Założenie jest takie, że \(\displaystyle{ x,y>0, x \neq 1, y \neq 1}\).
Czy dalej należy to zrobić tak:
\(\displaystyle{ \log_y x>1, x>1 \vee \log_y x<1 , x<1}\)?

Trzeba uzasadnić że rozwiązanie takiego równania znajduje się w podanym przedziale.
Już teraz widzę, że tak będzie, ponieważ \(\displaystyle{ f(x)=(0,75)^{x} }\) jest malejąca i przyjmuje wartości większe od \(\displaystyle{ 1}\) w podanym przedziale. \(\displaystyle{ 3 \sqrt{2}-2>1 }\), więc wykresy funkcji przetną się w podanym przedziale.

Równość \(\displaystyle{ \left( 0,75\right)^{x}=3 \sqrt{2}-2 }\) jest prawdziwa dla \(\displaystyle{ x \in (- \infty , 0)}\) Dlaczego?

Dany jest trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\). Na bokach \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BC}\) tego trójkąta leżą odpowiednio punkty \(\displaystyle{ L}\) i \(\displaystyle{ K}\). Odcinki \(\displaystyle{ AK}\) i \(\displaystyle{ BL}\) przecinają się w takim punkcie \(\displaystyle{ M}\), że pola trójkątów \(\displaystyle{ AMB=364}\), \(\displaystyle{ KLM=26}\), \(\displaystyle{ KMB=52}\). Wykaż, że pole trójkąta \(\displaystyle{ ABC=672}\).

Na boku \(\displaystyle{ LM}\) równoległoboku \(\displaystyle{ KLMN}\) wybrano punkt \(\displaystyle{ P}\). Prosta \(\displaystyle{ KP}\) przecina przekątną \(\displaystyle{ NL}\) w punkcie \(\displaystyle{ Q}\), a prosta \(\displaystyle{ MN}\) w punkcie \(\displaystyle{ R}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ \left| KQ\right|= \sqrt{\left| QP\right| \cdot \left| QR\right| } }\).

Mam to. Jedna przyprostokątna to \(\displaystyle{ 16-2r}\) , a druga to \(\displaystyle{ r}\). Żle narysowałam rysunek i nie mogłam tego zauważyć.