Matematyka.pl

Mam wyznaczyć \(\displaystyle{ p.}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }\left(3n+7- \frac{15n^{2}+pn-1}{5n+8}\right) = \frac{29}{35} }\).
Po przekształceniach dostaje, że
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }\left( \frac{n(59-p)+57}{5n+8}\right) = \frac{29}{35}. }\)
Czy wystarczy teraz zrobić tak:
\(\displaystyle{ \frac{59-p}{5} = \frac{29}{35} }\)?

Wykaż, że nierówność \sqrt{ \frac{a^{2}+b^{2}}{2} } \ge \frac{a+b}{2} , jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste a, b . Gdyby a,b>0 , to podnoszę nierówność stronami do kwadratu i przeszkaształcam. W ostateczności otrzymuje (a-b)^{2} \ge 0 . A z wykorzystaniem średniej( nie wiem czy dobrze ...

Gdy
\(\displaystyle{ 3 \cdot 1,\\
1 \cdot 3,\\
-3 \cdot (-1),\\
-1 \cdot (-3).

}\)
Trzeba rozważyć 4 przypadki?

Znajdź wszystkie pary liczb całkowitych spełniających równanie:
\(\displaystyle{ \left(x-2y-1 \right)\left( x+2y+1\right)=3 }\).

Funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) przyporządkowuje każdej liczbie całkowitej resztę z dzielenia tej liczby przez \(\displaystyle{ 5}\).
Oblicz \(\displaystyle{ f(152)-f(-19)}\).
\(\displaystyle{ f(152)=2.}\)
Czy \(\displaystyle{ f(-19)=1}\)?
Wtedy \(\displaystyle{ f(152)-f(-19)=2-1=1.}\)

Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f(x)=3x-5}\).
Czy \(\displaystyle{ f(f(x))=3(3x-5)-5=9x-20}\)?

Rozumiem, że w przypadku gdy \(\displaystyle{ a=-3b}\) wartość wyrażenia jest ujemna, stąd pod uwagę bierzemy tylko 2?

Oblicz wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{a^{2}+4b^{2}}{2ab} }\) wiedząc, że \(\displaystyle{ a>0, b>0}\) oraz
\(\displaystyle{ \frac{a^{2}-6b^{2}}{ab}=-1. }\)

Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ a, b, c}\) są liczbami dodatnimi, to
\(\displaystyle{ \frac{a+b+3c}{c} + \frac{b+c+3a}{a} + \frac{a+c+3b}{b} \ge 15}\)

Mam wyznaczyć środek jednokładności, w której obrazem okręgu
\(\displaystyle{ o _{1}: \left( x-1\right) ^{2}+ \left( y+2\right) ^{2} =4 }\)
jest okrąg
\(\displaystyle{ o _{2}: \left( x-6\right) ^{2}+ \left( y-4\right) ^{2} =16}\).
Czy tutaj muszę rozważyć dwa przypadki?
\(\displaystyle{ k=2 \vee k=-2}\).

A tutaj
\(\displaystyle{ 2m+1>0 \wedge -2m+15>0}\)

Dla jakiej wartości parametru m równanie: \left|x-8 \right|=2m-7 ma dwa pierwiastki dodatnie? Czy mogę skorzystać z własności i rozwiązać następująco: x-8=2m-7 \vee x-8=-2m+7,\\ x=2m+1 \vee x=-2m+15. I dostaję, że: m>- \frac{1}{2} \wedge m<\frac{15}{2},\\ m \in \left(- \frac{1}{2}, \frac{15}{2} \rig...

1) Przypadek
\(\displaystyle{ x^{2}+ \frac{1}{2}=1 }\)
\(\displaystyle{ x= \frac{ \sqrt{2} }{2} \vee x=- \frac{ \sqrt{2} }{2} }\)
2) Przypadek muszę rozwiązać
\(\displaystyle{ \cos2x+\sin2x=0}\)
Dobrze myślę?

Mam do rozwiązania
\(\displaystyle{ \left( x^{2}+ \frac{1}{2} \right)^{\cos2x} \cdot \left( x^{2}+ \frac{1}{2} \right)^{\sin2x}=1}\)
Czy normalnie korzystam z własności? tzn
\(\displaystyle{ \left( x^{2}+ \frac{1}{2} \right)^{\cos2x+\sin2x} =1}\)