Matematyka.pl

Mam zadanie w którym należy odgadnąć ile wynosi \lim_{n \to \infty } \sin ( \frac{ \sqrt{n} }{2n-3}) i należy udowodnić z definicji granicy , że rzeczywiście tak jest. Odgaduję, że granica to 0, ale nie wiem jak potem udowodnić to. Miałem pomysł, żeby pokazać, że \lim_{n \to \infty } \frac{ \sqrt{n}...

Wyznaczyć macierz odwzorowania liniowego L:M_{2 \times 2}(\mathbb{R})\ni A \rightarrow \left[\begin{array}{cc}1&2\\3&4 \end{array}\right] \cdot A \in M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) w bazie standardowej przestrzeni M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) (czyli w bazie złożonej z macierzy, które mają jeden wy...

Niech (X,d),(Y,\rho) będą przestrzeniami metrycznymi i niech f:X \rightarrow Y .Pokazać, że (1) f jest jednostajnie ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy \lim_{\delta \to 0+}\omega_f(\delta) = 0 , gdzie dla \delta >0, \omega_f(\delta):= \sup\{\rho(f(x),f(y)):x,y \in X,d(x,y) \le \delta\}. (2) dla ustalone...

Pokaż, że zbiór wszystkich podzbiorów \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\), które nie są równoliczne ze swoim dopełnieniem jest zbiorem nieskończonym i przeliczalny.

Nie wiem jak się za to zabrać.

Nie rozpisaliśmy chyba dowodu na injekcje do tego przykładu, jest tylko dowód na surjekcje.

Pokazać, że zbiór wszystkich ciągów k -elementowych o wyrazach należących do ustalonego zbioru przeliczalnego jest zbiorem przeliczalnym. Kiedy zbiór ten jest nieskończony? Weźmy zbiór przeliczalny X . f:\omega \rightarrow X \times ... \times X ( k razy). \left| X\right| <\left| \omega\right| , więc...

(b)Skorzystam z tej nierówności z sinusem co podałeś, całkiem ładna muszę przyznać. Stąd: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^\alpha\frac{1}{n}} \le \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^\alpha\sin{\frac{1}{n}}} \le \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^\alpha\frac{2}{n\pi}} \Leftrightarrow \Leftrightarrow \sum_{n=1}^...

(a) Można indukcją udowodnić (podnosząc do n itd.), że dla n\in\mathbb{N}: \sqrt[n]{n} \le 2 co jest równoważne z \frac{1}{2}\le\frac{1}{ \sqrt[n]{n} } . Czyli: \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\frac{1}{ \sqrt[n]{n} } \ge \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n}= \infty . Z kryterium porównawczego nasz szereg j...

(a) Weźmy x_n=\frac{1}{n^{1+\frac{1}{n}}} i y_n=\frac{1}{n} . Korzystając faktu który podałeś, wiem, że \exists N\in\mathbb{N}\forall n \ge N: x_n=y_n . Wiem też, że \sum_{n=1}^{\infty}y_n jest rozbieżny i stąd wynika, że \sum_{n=1}^{\infty}x_n też jest rozbieżny (to jest jakaś własność którą znalaz...

Rzeczywiście... Nie skupiłem się na doczytaniu, mój błąd. W każdym razie jestem wdzięczny!

Nie ukrywam nie miałem styczności ze wspomnianymi twierdzeniami, ale czy twojego rozumowania nie mogę tak pociągnąć: \sum_{n=1}^{\infty}2^n\frac{\left| x\right| }{3^n}=\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{2}{3}\right) ^n \cdot \left| x\right| =\left| x\right| \cdot \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{2}{3}...

Mam ćwiczenie, żeby udowodnić przeliczalność zbioru liczb całkowitych i zbioru liczb wymiernych. Na wykładach nam podano dowody, zastanawiałem się za to w tym ćwiczeniu czy nie można tego w prostszy sposób zapisać i prosiłym o sprawdzenie i poprawienie. 1)Zbiór liczb całkowitych Biore ciągi \left\{ ...

Zbadać zbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} 2^n \sin{\frac{x}{3^n}}, x \in \mathbb{R}}\).

Z tych "zależności" można skorzystać tylko przy obliczaniu granicy, w zwykłych równaniach takie operacje są chyba niepoprawne. Jedyne kryteria (mi znane), które ten wymóg spełniają to d'Alembert'a i Cauchy'ego. Przy czym korzystając z nich nie dostajemy żadnej sensownej informacji. Z innyc...

(a) wydaje mi się, że jest to część całkowita. Może tak: ten szereg możemy zapisać jako \sum_{n=1}^{\infty} \left[ \frac{\alpha}{2^{n+1}}+\frac{1}{2} \right] . Skoro \alpha \in \mathbb{N} to \exists k\in \mathbb{N}: \alpha \in [2^k,2^{k+1}) . W takim razie \frac{\alpha}{2^{k+2}}<\frac{1}{2} . To jes...