Matematyka.pl

\(\displaystyle{ P(Z_1 = 1) = p, P(Z_1=-1)=1-p}\)

\(\displaystyle{ E(\exp(\alpha Z_{n+1})) = e^{\alpha \cdot1} p + e^{\alpha \cdot (-1)} (1-p)}\). Tak się robi jeżeli mamy zmienną losową w potędze, czy się mylę?

Problem polega na tym, że rozkład nie jest postaci \(\displaystyle{ P(Z_1 = 1) = p, P(Z_1 = 0) = q }\) tylko \(\displaystyle{ P(Z_1 = -1) = q}\) dlatego przy obliczaniu wartości oczekiwanej jest \(\displaystyle{ e^{\alpha}p \mbox{ oraz } e^{-\alpha}q }\) a nie \(\displaystyle{ e^{\alpha}p \mbox{ oraz } e^{\alpha}q}\)

Faktycznie, dopiero jak człowiek na forum napiszę to sam się poprawia :) pt^2 -t +q = 0 \\ \Delta = 1-4pq > 0 \mbox{ ponieważ } p+q = 1 \implies pq\leq 0.25 Zatem mam: t_1 = \frac{1+\sqrt{1-4pq}}{2p}\mbox{ lub } t_2 = \frac{1+\sqrt{1+4pq}}{2p} Dalej jednak nie mam pomysłu jak wyliczyć alfę gdy powró...

Faktycznie, powinno być mnożenie, źle przepisałem do kodu. E(X_{n+1} | F_n) = E(e^{\alpha \sum_{j=1}^{n+1} Z_j}|F_n) = E(X_{n} \exp(\alpha Z_{n+1})) | F_n )= X_n E(\exp(\alpha Z_{n+1}) | F_n) = X_nE(\exp(\alpha Z_{n+1}) = X_n(e^{\alpha}p+e^{-\alpha}q) Podstawiam do równania, żeby "równało się&q...

Dzień dobry, mam problem z dokończeniem jednego zadania z martyngałów: Niech (Z_n)_{n\in \NN} będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie dwupunktowym P(Z_1 =1)=p \mbox{ } P(Z_1=-1)=q, gdzie p+q=1. Niech S_0 = 0 oraz S_n = \sum_{j=1}^n Z_j. Dla jakiego \alpha \in \RR ciąg: ...

Dla \(\displaystyle{ t = c}\) mamy \(\displaystyle{ \Omega}\), a dla \(\displaystyle{ t \neq c }\) mamy zbiór pusty

Zakładamy, że \(\displaystyle{ (\Omega, F,\mathbb{P})}\) jest przestrzenią probabilistyczną, z filtracją \(\displaystyle{ (F_t)_{t \in T}}\). Funkcję \(\displaystyle{ \tau : \Omega \rightarrow{} T \cup \{+\infty\}}\) nazywamy momentem zatrzymania, jeśli dla każdego \(\displaystyle{ t \in T}\) mamy \(\displaystyle{ \{\tau = t \} \in F_n}\)

Jeżeli mam funkcje \(\displaystyle{ \mathbb{R} \rightarrow{} \mathbb{R}}\) i moment stopu to będzie jakaś stała \(\displaystyle{ c}\), że \(\displaystyle{ f(x)=c }\) to przeciwobraz jest zbiorem pustym, gdy \(\displaystyle{ c}\) nie należy do filtracji lub do Omegi, gdy \(\displaystyle{ c}\) należy, ponieważ wtedy jest mierzalne zatem jest momentem stopu?

Dzień dobry,
czy jest ktoś w stanie naprowadzić na poniższe sprawy
czy zmienna losowa \(\displaystyle{ \tau(x) =x }\) jest momentem stopu względem dowolnej filtracji. Odpowiedź uzasadnij.
oraz
Czy zmienna losowa \(\displaystyle{ \tau=const }\) jest momentem stopu względnej dowolnej filtracji. Odpowiedź uzasadnij.

Dzień dobry, Mam problem z taką rzeczą: Ile wynosi funkcja tworząca losowej sumy zmiennych losowej. Podaj przykład razem z dowodem. Dodano po 4 godzinach 54 minutach 12 sekundach: dla każdego x \in [-1,1] $$ \sum_{k=0}^{\infty} \mathbb{P} (\xi_1+...+\xi_{\nu})x^k =$$ $$= \sum_{k=0}^{\infty} x^k \sum...