Matematyka.pl

Niech przez długi solenoid o promieniu a i liczbie zwojów na jednostkę długości n płynie prąd o zmiennym w czasie natężeniu I(t) (wybierzmy układ współrzędnych tak by prąd okrążał solenoid zgodnie z kierunkiem wyznaczanym przez wersor \hat{\phi} ). Wyznaczyć wektor natężenie pola elektrycznego \vec{...

Rozważmy długi solenoid o promieniu R , przez który płynie prąd o natężeniu I(t)=I_{0}\cos\omega . W chwili t_{0}=0 do solenoidu wstawiono kołową pętlę o promieniu r<R tak, że jej oś symetrii tworzy z osią solenoidu kąt \theta . Wyznaczyć zależność natężenia prądu płynącego w pętli od czasu jeśli je...

Walec o promieniu \(\displaystyle{ R}\) wykonany jest z materiału paramagnetycznego o podatności magnetycznej \(\displaystyle{ \chi}\). Wzdłuż osi walca umieszczono przewodnik, przez który płynie prąd elektryczny \(\displaystyle{ I}\). Wyznaczyć indukcję magnetyczną w dowolnym punkcie przestrzeni.

Cienki jednorodny pierścień o masie M , promieniu R , który został naładowany jednorodnie ładunkiem Q i wprawiony w ruch obrotowy wokół osi symetrii z częstością ω . - znaleźć stosunek jego momentu magnetycznego do momentu pędu (stosunek giromagnetyczny). - znaleźć stosunek giromagnetyczny dla jedno...

Jaka jest gęstość prądu, jeśli potencjał wektorowy we współrzędnych walcowych ma postać
\(\displaystyle{ \vec{A}}\) = \(\displaystyle{ k}\)\(\displaystyle{ \hat{\phi}}\), gdzie \(\displaystyle{ k}\) jest stałą utrzymującą jednostki.

Prąd stały o natężeniu I płynie wzdłuż długiego przewodnika w kształcie walca o promieniu a . Znajdź indukcję pola wewnątrz i na zewnątrz przewodnika dla dwóch przypadków: (a) prąd płynie jednorodnie po zewnętrznej powierzchni walca, (b) gęstość prądu J jest proporcjonalna do odległości od osi s .

Obliczyć całkę
\(\displaystyle{ \int\limits_{|z|=r}\frac{dz}{(z-a)(z-b)};\ |a|<r<|b|;\ a,b\in \mathbb{C}}\)

Rozwinąć funkcję \(\displaystyle{ f(z)=\frac{1}{1-z}}\) , gdzie \(\displaystyle{ z}\) oznacza liczbę zespoloną, w szereg potęgowy w punktach
a)\(\displaystyle{ z_{0}=3}\)
b)\(\displaystyle{ z_{0}=i}\)

Wyznaczyć ekstremum funkcjonału :
\(\displaystyle{ J(y)=\int\limits_{0}^{1}(xy'-y'^2)dx ;\\ y(0)=1,y(1)=\frac{1}{4}}\)

Mały, ale mierzalny prąd o natężeniu \(\displaystyle{ 1,2·10^{-10}\ A}\) płynie przez przewodnik miedziany o średnicy \(\displaystyle{ 2,5\ mm}\). Przyjmując, że natężenie prądu jest stałe, oblicz (a) gęstość prądu, (b) prędkość unoszenia elektronów.

Rozważmy dwa wahadła matematyczne o długościach l_1 , l_2 oraz masach odpowiednio m_1 , m_2 . Wahadło 2 jest zawieszone na końcu wahadła 1. Zakładamy, że obydwa wahadła poruszają się w jednej pionowej płaszczyźnie. Wychylenie wahadła 1, 2 od osi pionowej mierzymy kątami odpowiednio θ_1 , θ_2 . Wyraz...

Korzystając z równania Poissona obliczyć potencjał wewnątrz jednorodnie naładowanej kuli o promieniu \(\displaystyle{ R}\), jeżeli całkowity ładunek wynosi \(\displaystyle{ q}\).

Znajdź potencjał elektryczny \(\displaystyle{ V (z)}\) w dowolnym punkcie leżącym na osi symetrii (np. \(\displaystyle{ P}\)), prostopadłej do plastikowej tarczy o promieniu \(\displaystyle{ R}\), naładowanej jednorodnie powierzchniowo, z gęstością \(\displaystyle{ \sigma}\) na górnej powierzchni.

Przypuśćmy, że w pewnym obszarze stwierdzono, iż wektor natężenia pola elektrycznego jest równy (we współrzędnych sferycznych) E= kr^3\hat{r} , gdzie k jest pewną stałą zachowującą jednostki. (a) Znajdź gęstość ładunku objętościowego ρ . (b) Znajdź całkowity ładunek zawarty w kuli o promieniu R i śr...

Przestrzeń unitarna ma bazę ortonormalną \(\displaystyle{ e_{1},e_{2},e_{3}}\). Rozważamy wektory \(\displaystyle{ f_{1}=e_{1}+e_{2}}\), \(\displaystyle{ f_{2}=e_{2}+e_{3}}\),\(\displaystyle{ f_{3}=2e_{3}}\). Stosujemy do nich procedurę Grama-Schmidta, wektory otrzymane w ten sposób oznaczamy \(\displaystyle{ f'_{1},f'_{2},f'_{3}}\). Podać postać \(\displaystyle{ f'_{3}}\).