Matematyka.pl

Jan Kraszewski z maestrią przeprowadził Cię przez meandry dowodu wprost.
Chciałbym Cię zachęcić do spróbowania innej drogi:
Pokaż, że jeżeli ciąg a_n jest nieograniczony, to da się z niego wybrać podciąg a_{n_k} , taki, że dla dowolnych i\neq j
|a_{n_i}-a_{n_j}|>1 .

Stąd wyciągnij wniosek, że a ...

Jasne, przez nieuwagę dałem \left |a_{n}\right| \gt m i \left |a_{n}\right| \lt M zamiast
a_{n} \geqslant m oraz a_{n} \leqslant M . A to ogromna różnica bo np. gdy
prawie wszystkie wyrazy ciągu należą do otoczenia jego granicy to spełniona jest podwójna nierówność
g-\epsilon \lt a_{n} \lt g ...

To może tak: \qquad
z definicji wynika, że jeżeli \lim\limits_{n\to \infty }a_{n}=g to dla dowolnej liczby dodatniej \epsilon istnieje taka liczba naturalna N , że dla każdej liczby n \gt N jest a_{n} \in \mathbb{U}\left (g;\epsilon\right) . Niech \epsilon = 1 . Wówczas prawie wszystkie wyrazy ...

Ok, dzięki.
To może inaczej. Przedstawię mniej formalny dowód. Napiszę to tak jak ja to rozumiem.

Niech ciąg \left( a_{n}\right) będzie zbieżny do granicy g . Wówczas z definicji wynika, że dla dowolnie małej liczby dodatniej \epsilon istnieje taka liczba N , że dla każdej liczby n \gt N spełniona ...

Twierdzenie:
Jeżeli ciąg a_{n} jest zbieżny to jest ograniczony.
Dowód:
Jeżeli \lim\limits_{n\to \infty }a_{n}=g to dla dowolnie małej dodatniej liczby \epsilon istnieje takie N , że dla każdego n \gt N jest a_{n} \in \mathbb{U}\left (g;\epsilon\right) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego n \gt N ...

Chciałbym zamieścić tutaj do sprawdzenia dowód twierdzenia, że jeżeli ciąg ma granicę to jest ograniczony.

Jeżeli ciąg \left( a_{n}\right) ma granicę g to z definicji wynika, że prawie wszystkie wyrazy tego ciągu należą do dowolnego otoczenia granicy tego ciągu, czyli do zbioru \left( g-\epsilon;g ...

<r>Dzięki za wskazówki.<br/>
<br/>
To spróbuję raz jeszcze:<br/>
ustalmy dowolne <LATEX><s>[latex]</s>y \in Y<e>[/latex]</e></LATEX>. Ponieważ <LATEX><s>[latex]</s>h<e>[/latex]</e></LATEX> jest funkcją wyboru dla rodziny <LATEX><s>[latex]</s>\left\{ f^{-1}\left[ \left\{ y\right\} \right]:y \in Y ...

Dziękuję.
To się nazywa prawa odwotna
Przyznam, że nie znałem tego pojęcia. Mógłbyś podać pełną jego definicję?

Ciąg dalszy dowodu raz jeszcze:
Ponieważ g\left( y\right) =h\left( f^{-1}\left[ \left\{ y\right\} \right] \right)=x to para \left( y,x\right) \in g . Wówczas, ponieważ f jest surjekcją ...

Dziękuję za wyjaśnienia.

Ponieważ g\left( y\right) =h\left( f^{-1}\left[ \left\{ y\right\} \right] \right)=x to wówczas para \left( y,x\right) \in g . Niech para \left( x, y^{'} \right) \in f gdzie y^{'} \in Y jest dowolnym elementem. Zatem \left( y^{'},x \right) \in g czyli g\left( y\right) =g ...

Zgadza się-nie zdefiniowałem funkcji g . Zatem niech g:Y \rightarrow X będzie określona wzorem g\left( y\right) =h\left( f^{-1}\left[ \left\{ y\right\} \right] \right) .
I rzecz jasna nie mogłem napisać, że f^{-1}\left[ \left\{ y\right\}\right] =x bo f^{-1}\left[ \left\{ y\right\} \right] jest ...

Dziękuję.

Kończąc dowód tego twierdzenia rozumiem, że można powołać się na def. relacji identycznościowej, a więc id_{Y} =\left\{ \left( y,y\right):y \in Y \right\} . Skoro dla każdego y \in Y mamy, że f^{-1}\left[ \left\{ y\right\} \right] =x to \left( y,x\right) \in g oraz \left( x,y\right) \in f ...

Dziękuję za wszystkie odpowiedzi.
Faktycznie definicję produktu formułuje się dla indeksowanej rodziny zbiorów. Co oznacza stwierdzenie rodzina zbiorów indeksowana sama ze sobą?
Czyli rozumiem, że funkcja g\circ h jest funkcją z produktu dla rodziny \mathcal {S} ?

Chciałbym jeszcze zapytać czy ...

Dziękuję.
h:R \rightarrow R\times \left\{ R\right\}
To jest niepoprawne.
Jaki powinien być prawidłowy zapis?

(tak na marginesie rozumiem, że jest to funkcja należąca do produktu rodziny \mathcal {S} ?). Która funkcja i jakiego produktu?
Chodziło mi o to, że g\circ h \in \prod_{R \in \mathcal ...

Dziękuję.

DS

Chciałbym zapytać czy dobrze to rozumiem(jest to część tekstu z książki z którą pracuję dotycząca pewnika wyboru):
Mamy rodzinę zbiorów niepustych \mathcal {R} oraz rodzinę zbiorów parami rozłącznych \mathcal {S}=\left\{ R\times \left\{ R\right\}:R \in \mathcal {R} \right\} . Niech g:\mathcal {S ...