Matematyka.pl

Witam!
Czy promień zbieżności jest tym samym, co obszar zbieżności?
Czy na przykład dla szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{n+1}x^n}{2n+1}}\) promieniem zbieżności jest \(\displaystyle{ R=\left(-\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right)}\), a obszarem zbieżności \(\displaystyle{ left[-frac{1}{4},frac{1}{4}
ight)}\)?

Witam!
Czy jeśli mamy za zadanie obliczyć całkę typu \(\displaystyle{ \int\frac{dx}{\sqrt {x^2-K}}}\) (tu K jest dodatnie), to wynikiem będzie \(\displaystyle{ ln\left|x-\sqrt{x^2-K}\right|}\)?

Witam!
Nigdzie nie było narzucone, by skorzystać z rachunku różniczkowego, tylko tak zasugerowałem na początku. To wydaje się jednak najbardziej logiczne.
Zadanie 1. z 1.1.2 Rok 2003 - Termin II (strona 3 u dołu):

Witam!
Nie korzystając z interpretacji geometrycznej wykaż nierówności:
\(\displaystyle{ \sin{x} < x < \tan {x}}\) dla \(\displaystyle{ x (0,\frac{\pi}{2})}\).
Podejrzewam, że należy skorzystać z rachunku różniczkowego, ale pomimo wielu prób nie udało mi się wpaść na właściwy trop.

Witam!
Dziękuję za odpowiedzi.
Jeszcze tylko jedno: Dla jakich x funkcja jest róna sumie tego rozwinięcia?

P.S. Resztę obliczyłem: \(\displaystyle{ \int\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{2n+1}=\frac{\pi}{4}}\).

Czyli rozpisuję funkcję: f(x)=xg(x) , gdzie g(x)=arctan2x . Później obliczam pochodną funkcji g: g'(x)=\frac{2}{1+(2x)^2}=\sum_{n=0}^{\infty}2(-4x^2)^n} . Całkuję tę sumę i otrzymuję: g(x)=2\sum_{n=0}^{\infty}(-4)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1} . Z tego wynika, że f(x)=2x\sum_{n=0}^{\infty}(-4)^n\frac{x^{2n...

Witam,
a jak dokonać tego rowinięcia, \(\displaystyle{ x \mapsto \arctan x}\), bo nic mi nie przychodzi do głowy?

I jest to obojętne, czy funkcja f (wewnętrzna \(\displaystyle{ Q(x,y)}\) i \(\displaystyle{ P(x,y)}\))jest różniczkowana po x lub po y?

Witam, zastanawiam się nad zadaniem: Obliczyć \oint_L\left[f(x+y)+f(x-y)\right]dx+\left[f(x+y)-f(x-y)\right]dy , gdzie L - okrąg x^2+y^2=R^2 zorientowany dodatnio. f: R -> R . (Wskazówka: skorzystać z tw. Greena). Zadanie wydaje się banalne, ale po zastosowaniu twierdzenia Greena otrzymujemy pochodn...

Witam! Głowię się nad następującym zadaniem: Rozwinąć w szereg potęgowy w otoczeniu x_{0}=0 funkcję f(x)=xarctg2x . Dla jakich x funkcja jest róna sumie tego rozwinięcia? Obliczyć \int\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{2n+1} . Po zróżniczkowaniu funkcji x2 otrzymuję: f''(x)=\left(\frac{2}{1+4x^{2}}\r...

Witam!
Próbowałem podstawienia \(\displaystyle{ \tan\frac{\varphi}{2}=t}\), ale i tak wpędza nas to w "kosmiczne" obliczenia (pierwiastki z wysokich potęg).
Zadanie pochodzi ze zbioru Krysickiego i Włodarskiego.

Witam! Ale na przykład, jeśli mamy opisać obszar będący wycinkiem koła, to na jego brzegach (np. y=x) r zmienia się według innej zasady niż będąc w środku tego obszaru - tam jest stale równe promieniowi okręgu (R). Taki właśnie obszar opisywany jest również w sposób r \in [0,R] , chociaż występują m...

Witam! Być może jest to już oznaka wypalenia, ale nie jestem w stanie rozwiązać tego prostego zadania: Znaleźć pole tej części powierzchni x^2+y^2=2z , która jest zawarta wewnątrz walca (x^2+y^2)^2=2xy Z równania walca otrzymujemy warunek na r: r=\sqrt{sin2\varphi} . Obliczam taką całkę: |D|=2\int\l...

Witam! Od kiedy zacząłem zajmować się całkami wielokrotnymi zawsze nachodzą mnie wątpliwości, czy dany parametr ma być wyznaczony w sposób stały, czy zależny od innych (np. od kąta). Mamy na przykład takie zadanie: Obliczyć \iiint_V\sqrt{x^2+y^2+z^2}dxdydz ; V - ograniczony powierzchniami: 1. x^2+y^...

Witam! Jeżeli rozpatrywalibyśmy to w normalnych współrzędnych to górną granicą dla y byłoby 3+\sqrt{-x^2+2x} . Wyrażenie pod pierwiastkiem musi być większe lub równe 0. Z niego otrzymałem górną granicę dla promienia. Dolną, jak również, odpowiadającą jej, dolną dla kąta fi wydedukowałem sam z rysunk...