Matematyka.pl

Wyznaczyć przedziały zbieżności podanych szeregów potęgowych:
a) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \sin \frac{1}{n} (x+1)^n}\)

Proszę o wskazówki jak zabrać się za poniższe zadanie: Zakładając, że szukane funkcje można przedstawić w postaci zbieżnego szeregu potęgowego, znaleźć kilka początkowych wyrazów szeregu, którego suma jest: (1) rozwiązaniem równania różniczkowego y''+y=0 z warunkami y(0) = 1, y'(0) = 1 ; (2) rozwiąz...

Niech \(\displaystyle{ \mathbb{X}=(X_1,\ldots,X_n)}\) będzie próbą z rozkładu zero-jedynkowego z parametrem \(\displaystyle{ \theta\in(0,1)}\). Wyznaczyć \(\displaystyle{ ENMW[\theta^m]}\), gdzie \(\displaystyle{ m \le n}\). Co się stanie gdy \(\displaystyle{ m>n?}\)

Niech \(\displaystyle{ \mathbb{X}=(X_1,X_2,\ldots,X_n)}\) będzie próbą z danego rozkładu Poissona z parametrem \(\displaystyle{ \theta\in\Theta=(\infty,0).}\) Wykazać zupełność statystyki \(\displaystyle{ T(\mathbb{X})=\sum_{i=1}^nX_i.}\)

Niech X=(X_1,X_2,\dots,X_n) będzie próbą z rozkładu cechy X. Wyznaczyć statystykę dostateczną dla rodziny rozkładów cechy X jeśli jest to: 1. Rodzina rozkładów jednostajnych na (a,b) gdzie (a,b)\in R 2. Rodzina rozkładów beta B(p,q) gdzie p,q>0 3. Rodzina rozkładów Pareto z parametrem \alpha>0 tj. o...

Obliczyłam dystrybuantę Z, ale mam teraz problem z wyliczeniem dystrybuanty warunkowej. Od czego powinnam zacząć? Od wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe?

Niech X,Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych o średnich (wartościach oczekiwanych) { \frac{1}{ \lambda_{X} }, \frac{1}{ \lambda_{Y} } } odpowiednio. Znajdź rozkład Z=\min(X,Y) . Znajdź dystrybuantę warunkową Z pod warunkiem Z=X . Obliczyłam, że rozkład Z jest rozkładem w...

Niech będzie dany graf nieskierowany \Gamma=(V,K) , gdzie V=\{v_1,v_2,\dots,v_n\} oznacza zbiór wierzchołków, a K=\{k_1,k_2,\dots,k_n\} oznacza zbiór krawędzi grafu. Oznaczmy deg(v) stopień wierzchołka v\in V , tzn. liczbę krawędzi wychodzących z niego. Załóżmy, że deg(v) \ge 1 dla dowolnego v\in V ...

Niech przestrzeń stanów S=\{0,1,\dots, L-1\}=\mathbb{Z}_L z dodawaniem modulo L , gdzie L \ge 2 ustalona liczba naturalna. Zdefinujemy macierz prawdopodobieństw przejść P=[p_{i,j}]_{L \times L} , gdzie p_{i,i+1}=p_{i,i-1}= \frac{1}{2} . Dla nieparzystego L znajdź najmniejszą liczbę n \ge 1 taką, że ...

Niech \(\displaystyle{ Y_1, Y_2, \dots}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tej samej dystrybuancie oraz \(\displaystyle{ P(Y_n=0)=\alpha, P(Y_n>y)=(1-\alpha)e^{-y},\ y>0}\). NIech \(\displaystyle{ X_0\equiv0,\ X_{n+1}=\alpha X_n+Y_{n+1}}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ P(X_n=0)=\alpha^n, P(x_n>x)=(1-\alpha^n)e^{-x}}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\).

Łańcuch Markowa \{X_n\}_{n \ge 0} na przestrzeni stanów ma następującą macierz prawdopodobieństw przejść: P= \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0.5 & 0.5 \\ 0.5 & 0.5 & 0 \\ \end{array} . Znajdź ogólny wzór na prawdopodobieństwo, że proces startujący w chwilii 0 ze stanu 1 w...

Niech X_j, j=1,2,\dots będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie jednostajnym na zbiorze cyfr {0,1,\dots,9} np. X_j(x)=x_j , gdzie dla x\in [0,1] mamy x= \sum_{j=1}^{\infty} \frac{x_j}{10^j} w reprezentacji dziesiętnej. Definujemy indukcyjnie nowy łańuch Markowa Y_1=X_1 ,...

62Wr5M.png m8wauK.png Cząstka z prawdopodobieństwem \frac{1}{2} przechodzi na sąsiednie pole, gdy startuje ze stanów 1,2,\dots, n-1 , a ze stanów 0 i n przechodzi z prawdopodieństwem 1 do jedynego sąsiada. Oblicz wartość oczekiwaną ilości skoków cząstki, aby osiągnęła ona stan n, startując ze stanu...

Niech \(\displaystyle{ X_1,X_2,\dots}\) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tych samych gęstościach. Mówimy, że w momencie n występuje pik, gdy \(\displaystyle{ X_{n-1}<X_n}\) i \(\displaystyle{ X_n>X_{n+1}}\). Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 średnia liczba pików jest równa \(\displaystyle{ \frac{1}{3} }\).

Niech \(\displaystyle{ X_1,X_2}\) będą nieujemnymi i niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach absolutnie ciągłych. Pokaż, że \(\displaystyle{ P(X_1 <X_2 \mid min(X_1,X_2)=t)= \frac{\lambda_1(t)}{\lambda_1(t)+\lambda_2(t)} }\) ,gdzie \(\displaystyle{ \lambda_1(t),\lambda_2(t)}\) są intensywnościami awarii.