Matematyka.pl

Obliczyć pole powierzchni bryły przestrzennej \(\displaystyle{ P=\{(x,y,z):x^2+y^2\leq1,0\leq z\leq x+y+5\}}\). Wydaje mi się, że należy użyć całki powierzchniowej, ale nie wiem jak się do tego zabrać. Proszę o wskazówki.

Jakąś ładną bijekcje ciągłą należy skonstruować. Strzeliłbym na \(\displaystyle{ f(x)=\frac{x}{x+1}}\), ale nie wiem czy to dobry pomysł.

Niech \(\displaystyle{ (X,d)}\) będzie przestrzenią metryczną. Jak pokazać, że jest ona homeomorficzna z przestrzenią \(\displaystyle{ (X,\frac{d}{d+1})}\)?

Niech \(\displaystyle{ (X,d)}\) będzie przestrzenią funkcji klasy \(\displaystyle{ C^1}\) na \(\displaystyle{ [0,1]}\) z metryką supremum. Czy funkcja \(\displaystyle{ \Phi: X\to X}\), gdzie \(\displaystyle{ \Phi(f)=f'}\) jest ciągła?

Ciąg \(\displaystyle{ (x_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset X}\) nazywamy zbieżnym do punktu \(\displaystyle{ x}\), jeśli dla każdego \(\displaystyle{ U\in\tau,x\in U}\) istnieje \(\displaystyle{ n_0\in\mathbb{N}}\) taki, że dla każdego \(\displaystyle{ n\geq n_0}\) mamy \(\displaystyle{ x_n\in U}\).
Punkt \(\displaystyle{ x}\) nazywamy granicą ciągu.

Istnienie granicy.

Weźmy ciągi \(\displaystyle{ x_n=\frac{1}{n}, y_n=n}\), topologie: dopełnień skończonych i dopełnień przeliczalnych. Jak pokazywać w tych topologiach zbieżność lub jej brak? Jak pokazywać zbiory granic?

Podam jeden z przykładów do rozwiązania. Należy podać wnętrze domknięcie i brzeg zbioru postaci \(\displaystyle{ \left\{ [(x,y)]:(x,y)\in\left[0,\frac{1}{2}\right)^2\right\} }\).

Mamy topologię naturalną na płaszczyźnie i relację równoważności zadaną w ten sposób, że dwa punkty są ze sobą w relacji, jeśli części ułamkowe ich odpowiednich współrzędnych są równe. Jak w topologii relatywnej zadanej przez tą relację wyglądają zbiory otwarte, domknięte?

W oczywisty sposób da się zsumować \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\). Przecięcie dwóch zbiorów tego typu to po prostu mniejszy z nich (o mniejszym \(\displaystyle{ a}\)). W definicji mamy zawieranie a nie zawieranie właściwe, więc wydaje się, że również drugi warunek jest spełniony. Czy takie uzasadnienie wystarcza?

Musi dać się zsumować cała przestrzeń (tu \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\), nie podałem) oraz dla dowolnego elementu z przecięcia dwóch zbiorów z bazy musi istnieć podzbiór (należący do bazy) tego przecięcia taki, że element do niego należy.

Czy rodzina zbiorów \(\displaystyle{ \{(-a,a):a\in\mathbb{N}\}}\) jest bazą jakiejś topologii? Wydaje mi się, że jest, ale pewności brak.

<r><LATEX><s>[latex]</s>\tau=\{(a,+\infty): a\in\mathbb{R}\}\cup<br/> \{\emptyset,\mathbb{R}\}<e>[/latex]</e></LATEX><br/> Dodatkowo pasuje pokazać, że ta topologia nie pochodzi od metryki.<br/> <br/> <SIZE size="85"><s>[size=85]</s><COLOR color="green"><s>[color=green]</s>Dodano po 47 minutach 11 s...

Mam znaleźć wnętrza, domknięcia, brzegi i pochodne zbiorów w różnych topologiach. Podam jakieś najprostsze przykłady, proszę o wskazówki a resztę postaram się zrobić sam. X=\mathbb{R} (0,1) w topologii prawych odcinków oraz w topologii dopełnień skończonych; \{1\} w topologii dopełnień co najwyżej p...

A jak wygląda sprawa dla \(\displaystyle{ \text{Fr}\,A\setminus\text{Fr}\,B}\) i \(\displaystyle{ \text{Fr}\,A\setminus B}\)? Udało mi się pokazać, że nie ma zawierania z prawej w lewo. Nie wiem jak w drugą stronę.