Matematyka.pl

Myślałam trochę nad tym i nie wiem jak ruszyć. Na zajęciach mieliśmy jakieś proste przykłady, gdzie np. Y generował zbiory symetryczne względem \frac{1}{2} i wtedy zapisywaliśmy A=1-A całkę rozbijaliśmy na sumę dwóch całek jedną po zbiorze A drugą po zbiorze 1-A później zamienialiśmy granicę aby obi...

Może coś źle rozpisałam, ale wyszło mi tak: E(X_{n+1}^{3}|F_{n})=( \sum_{}^{} Y_{i})^{3}-3( \sum_{}^{} Y_{i})^{2}E(Y_{n+1}|F_{n})+3 \sum_{}^{} Y_{i}E(Y_{n+1}^{2}|F_{n})+E(Y_{n+1}^{3}|F_{n})=( \sum_{}^{} Y_{i})^{3}-3( \sum_{}^{} Y_{i})^{2}E(Y_{n+1})+3 \sum_{}^{} Y_{i}E(Y_{n+1}^{2})+E(Y_{n+1}^{3}) a_{...

Hmm no to mam tą równość, wiem jak wygląda sima ciało generowane przez \(\displaystyle{ Y_{n}}\). Jak np. \(\displaystyle{ B\in [0,t]}\), a \(\displaystyle{ t\in[0,1-\frac{1}{n}]}\) to co mogę dalej zrobić?

A no tak, skoro są niezależne to \(\displaystyle{ E(Y_{n+1}|F_{n})=E(Y_{n+1})}\) oraz \(\displaystyle{ E((Y_{n+1})^{2}|F_{n})=E(Y_{n+1})^{2}}\) to drugie tak będzie, bo nie jestem pewna ?
Ale jak to rozpisałam i przyrównałam to dostałam, że \(\displaystyle{ E(Y_{n+1})=0}\), ale o \(\displaystyle{ a_{n}}\), żadnych ograniczeń nie dostałam

Skoro mamy jakieś sigma ciało to wiemy, że zachodzi:
\(\displaystyle{ \forall B\in F \int_{B}^{}E(X|F)dP= \int_{B}^{}XdP }\) tak?

Podniosłam X_{n+1}^{3} i dostałam coś takiego ( \sum_{i=1}^{n} Y_{i})^{3}-3(\sum_{i=1}^{n} Y_{i})^{2}Y_{n+1}+3\sum_{i=1}^{n} Y_{i}(Y_{n+1})^{2}+(Y_{n+1})^{3} No i wiemy, że te sumy, iloczyny będą F_{n} mierzalne czyli będziemy mogli wyciągnąć to przed wartość oczekiwaną, ale nadal mi zostanie wartoś...

Niezależne?

Możemy zapisać, że \(\displaystyle{ X_{n}= \sum_{i=1}^{n}Y_{i} }\), gdzie \(\displaystyle{ Y_{i} }\) to zmienne losowe ?

Rozumiem, dzięki.
Zastanawiam się teraz jak mam wyznaczyć proces \(\displaystyle{ X_{n}=E(X|Y_{n})}\) to mam wyznaczac dla każdego n z osobna ?
Bo jak będę miała \(\displaystyle{ X_{1}=E(X|Y_{1})}\) to mogę to zapisać jako \(\displaystyle{ \int_{A}^{}2 \omega d\omega }\), gdzie \(\displaystyle{ A \subset [0,1]}\)? I co dalej?

Czyli ostatecznie filtracja będzie miała postać \(\displaystyle{ \sigma(Y_{n})=\left\{ \emptyset,[0,1],[0,t], t\in[0,1-\frac{1}{n}] \right\} }\)?

Faktycznie, bez sensu to napisałam.
\(\displaystyle{ \sigma(Y_{3})=\sigma(\emptyset,[0,1],[0,t])}\) gdzie \(\displaystyle{ t\in [0,\frac{2}{3}]}\) czyli te sigma ciała będą miały taka samą postać tylko przedział \(\displaystyle{ t}\) będzie się zmieniał. Tylko jak wtedy zapisać \(\displaystyle{ \sigma(Y_{1},Y_{2},Y_{3})}\) I ogólnie?

\(\displaystyle{ \sigma(Y_{3})=\sigma(\emptyset,[0,\frac{2}{3}],[0,1])}\)
\(\displaystyle{ \sigma(Y_{1},Y_{2})=\sigma(\emptyset,[0,\frac{1}{2}],[0,1])}\)
\(\displaystyle{ \sigma(Y_{1},Y_{2},Y_{3})=\sigma(\emptyset,[0,\frac{1}{2}],[\frac{1}{2},\frac{2}{3}],[0,1])}\) tak ?

Niech proces \left\{ X_{n}\right\} bedzie procesem symetrycznego błądzenia losowego z czasem dyskretnym i niech \left\{ F_{n}\right\} oznacza filtrację naturalną tego procesu. Znajdź deterministyczny ciąg a_{n}\in \mathbb{R} taki, że proces zadany jako Z_{n}=X_{n}^{3}+a_{n}X_{n} jest martyngałem wzg...

Czyli Y_{2}=\omega^{2} \mathbf{1}_{\left[ 0, \frac{1}{2}\right] } +\mathbf{1}_{\left[ \frac{1}{2}, 1\right] } . I teraz wyznaczam Y_{2}^{-1}\left( -\infty,t\right)=\emptyset dla t \le 0 Y_{2}^{-1}\left( -\infty,t\right)=\left[ 0, \sqrt{t} \right] dla \frac{1}{4} > t >0 Y_{2}^{-1}\left( -\infty,t\rig...

1. Jakbyś nakierował mnie od czego zacząć przy wyznaczaniu filtracji, nie mieliśmy tego na zajęciach, a żeby dalsze podpunkty rozwiązać muszę znać filtrację. 2. Teoretycznie wiem jak rozwiązać tego typu zadania, ale problem w tym, że Y jest zależny od n i nie wiem jak to rozważyć. 3. Jak już będę zn...