Matematyka.pl

Udowodnić, że zbiory \(\displaystyle{ \NN}\) i \(\displaystyle{ \NN \setminus \{1,2,4,8\}}\) są równoliczne.

Odpowiedz na pytania: (1) Czy każde słowo u ma tyle samo liter co słowo u ? (2) Czy jeśli słowo u ma tyle samo liter co słowo v to czy v ma tyle samo liter co u ? (3) Czy jeśli słowa u i v mają tyle samo liter oraz słowo l ma tyle liter co u to czy l ma tyle samo liter co v ? (4) Co z tego wynika? ...

Niech W będzie zbiorem słów nad pewnym skończonym alfabetem. W zbiorze \(\displaystyle{ W \times W}\) określamy relację \(\displaystyle{ R = \{ (u,v) \mid u \text{ i } v \text{ mają tę samą liczbę liter} \}}\). Czy \(\displaystyle{ R}\) jest relacją równoważności? Jeśli tak, wskazać jej klasy abstrakcji.

Dana jest relacja \(\displaystyle{ R \subseteq \mathcal{P}(\ZZ_+) \times \NN = \{(A, n) \mid n \text{ jest najmniejszym elementem } A \}}\). Czy \(\displaystyle{ R}\) jest funkcją? Surjekcją?

Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że losowo wybrana liczba naturalna będzie podzielna przez 5, ale nie przez 7.

Jaką moc ma zbiór wszystkich sześcianów w przestrzeni Oxyz, których krawędzie są wymierne?

Sprawdzić, że podane pola wektorowe są polami potencjalnymi, znaleźć ich potencjały
\(\displaystyle{ \vec{A} = (x \vec{e_{x}}+y \vec{e_{y}} + z \vec{ e_{z}})\sin\sqrt{x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} } }\),
\(\displaystyle{ \vec{B} = yz\vec{e_{x}} + (4y ^{3} -12yz ^{2} + xz ) \vec{e_{y}} + (4z ^{3} - 12y ^{2}z +xy)\vec{ e_{z}} }\)

Znaleźć dywergencję i rotację podanych pól wektorowych:
\(\displaystyle{ \vec{A}= xz \vec{e_{x}} + yz \vec{e_{y}} − (x ^{2}+ y ^{2}) \vec{e _{z}} }\) , \(\displaystyle{ \frac{x \vec{e_{x}} + y \vec{e_{y}} + z \vec{e _{z}} }{( \sqrt{x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} } ) ^{ \alpha } } }\)

Znaleźć parametryzację krzywej w \(\displaystyle{ \RR ^{3}}\) powstałej z przecięcia płaszczyzny \(\displaystyle{ z = 0}\) z prostymi stycznymi do helisy
wektor \(\displaystyle{ r(u) = (\cos u, \sin u, u)}\)

Znaleźć parametryzację krzywej w \(\displaystyle{ \RR ^{3}}\) zadanej równaniami \(\displaystyle{ x ^{2} + y ^{2} - z ^{2} = 0 }\), \(\displaystyle{ x +z -1 =0}\).

Wykorzystując różniczkowanie po parametrze policzyć całkę \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } \cos(tx)e ^{-x^2} \dd x}\)