Matematyka.pl

Janusz Tracz pisze: 8 maja 2020, o 18:31

\(\displaystyle{ 2)}\) Z zasady włącznie i wyłączeń można pokazać, że suriekcji z \(\displaystyle{ \left[ n\right] }\) w \(\displaystyle{ \left[ k\right] }\) jest \(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{k}(-1)^i {k \choose i} \left( k-i\right)^n }\)

A jak to pokazać?

Uzasadnij następującą zależność:
\(\displaystyle{ S\left( n,k\right)= \frac{1}{k!} \sum_{i=0}^{k} \left( -1\right) ^{k-i} {k \choose i} i^{n}}\)
Całkowicie nie wiem jak się za to zabrać.

Dobra, dzięki, policzyłem z równania charakterystycznego. Jednak teraz mam problem z zadaniem(również wyznaczenie wzoru jawnego)
a_{n}=1,08 a_{n-1}+100, a_{0}=0
H(x)= h_{0} x^{0} + \sum_{n=1 }^{ \infty}(1,08h_{n-1}+100)x^{n}=h_{0} x^{0} + \sum_{n=1 }^{ \infty}1,08h_{n-1}x ^{n-1}+ \sum_{n=1 ...

Z podanych wzorów rekurencyjnych mam dojść do wzoru jawnego.
1) a_{n} =a_{n-2} +2a_{n-1} , a_{0}=1, a_{1}=2 , a_{2}=5
Wykorzystując funkcje tworzącą doszedłem do W(x)= \frac{1}{1- x^{2}-2x } Obliczyłem pierwiastki równania x_{1} =1- \sqrt{2}, x_{2} =1+ \sqrt{2} . Mam więc \frac{1}{1- x^{2}-2x ...

Treść zadania mówi o równaniach rekurencyjnych:
\begin{cases} a_n=b_{n-1} \\ b_n=3a_{n-1}+2b_{n-1} \end{cases}
b_n=3b_{n-2}+2b_{n-1}\\



Właśnie nie za bardzo wiem skąd to jest, jak do tego dojść. Domyślam się, że b_n=3a_{n-1}+2b_{n-1} jest dlatego, ponieważ cząsteczka \beta składa się z 2 ...

Wewnątrz reaktora jądrowego znajdują się 2 rodzaje cząsteczek typu \alpha i typu \beta . W każdej sekundzie cząstka \alpha rozpada się na trzy cząstki \beta , a cząstka \beta na jedną cząstkę \alpha i 2 cząstki \beta . Jeśli umieścimy w reaktorze jedną cząstkę \alpha w czasie t=0 sekund to ile ...

Premislav pisze: 23 mar 2020, o 15:14 Jasne:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}\frac{(2n)!}{(k!)^{2}[(n-k)!]^{2}}=\frac{(2n)!}{(n!)^{2}}\sum_{k=0}^{n}\frac{(n!)^{2}}{(k!)^{2}[(n-k)!]^{2}}\\}\)

Nie mam pojęcia co tu się stało, nigdy tak tego nie rozpisywaliśmy

No to w pierwszym równości też nie napisałeś


Przepraszam, ale próbuję robić te zadania dość długo i nie zauważyłem tego błędu . MIało tam być

\sum_{k=0}^{n} \frac{\left( 2n\right)! }{\left( k!\right) ^{2}\left[\left(n-k \right)! \right] ^{2} } ={2n \choose n}^{2}


No to w pierwszym ...

Premislav pisze: 23 mar 2020, o 13:35 Przecież w pierwszym nie napisałeś żadnej nierówności.

Chodziło oczywiście o równość

Premislav pisze: 23 mar 2020, o 13:35

Wskazówka niepoprawna (pewnie indeksy zwalone)

Zapomniałem jeszcze dopisać "dzieląc wybory zbiorów k + 1 elementów spośród n+ 1 elementów
ze względu na największy element."

1) Pokaż używając argumentów algebraicznych i kombinatorycznych następującą nierówność:
\sum_{k=0}^{n} \frac{\left( 2n\right)! }{\left( k!\right) ^{2}\left[\left(n-k \right)! \right] ^{2} }
Podpowiedź od profesora: Rozważ wybory dwóch grup n osobowych spośród n kobiet i n mężczyzn, gdzie osoby ...

(2b1) nie ma jedynek z początku i z końca (dzielisz jedynki na k-1 serii)
(2b2) są jedynki z początku, ale nie ma z końca (dzielisz jedynki na k serii)
(2b3) nie ma jedynek z początku, ale są z końca (dzielisz jedynki na k serii)
(2b4) są jedynki i na początku, i na końcu (dzielisz jedynki na k+1 ...

<r><QUOTE author="FasolkaBernoulliego" post_id="5602859" time="1583677797" user_id="143597"><s>[quote=FasolkaBernoulliego post_id=5602859 time=1583677797 user_id=143597]</s>
<br/>
Pogrupowanie ich w k serii to tak naprawdę ustawienie k-1 miejsc podziału (x) w n-1 możliwych miejsc (stąd wzór). Np ...

A co to jest `k` w 1) ?

No właśnie nie mam pojęcia, według mnie odpowiedź powinna brzmieć 2^{n}

Ad 2)
Zał: n \ge k \wedge m \ge k-1
a) liczba podziałów n zer na k serii to liczba rozwiązań równania:
s_1+s_2+...+s_k=n gdzie s_1,s_2,...,s_k \in \NN_+
czyli {n-1 \choose k-1}
b) między ...

1) Ile jest ciągów binarnych o długości n?
Odpowiedź to \(\displaystyle{ 2^{n-k-1} }\)
Dlaczego nie \(\displaystyle{ 2^{n} }\)?
2)Ile jest ciągów o n zerach i m jedynkach zawierających k serii zer?
Odpowiedź to \(\displaystyle{ {n-1 \choose k-1} {m+1 \choose k}}\)

\neg p \vee \neg q \vee \left( p \vee q\right) i na tym koniec?
czy trzeba dalej to rozpisywać? czyli \left( \neg p \vee p\right) \vee \left( \neg p \vee q\right) \vee \left( \neg q \vee p\right) \vee \left( \neg q \vee q\right)
Wybacz za błędy, ale pierwszy raz robię taki przykład