Matematyka.pl

Udowdnij, ze dla każdego n, \sum_{i=0}^{n} i ^{3} jest kwadratem liczby naturalnej. Przyjmij, że pusta suma ma wartość 0. Zadanie to łatwiej udowodnić, jeśli wzmocni się formułę, dla której prowadzimy indukcję do \sum_{i=0}^{n} i ^{3} = (\sum_{i=0}^{n} i)^{2} Pamiętaj, że \sum_{i=1}^{n} i=\frac{n(n+...

a4karo pisze: ↑5 kwie 2020, o 20:03 W czym problem?

Nie umiem napisać sumy, może źle liczę wartości pochodnych w poszczególnych punktach.

\(\displaystyle{ f(x)= \cos^2 x}\) w otoczeniu punktu \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{3}}\)

A to?
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{n^{n} }{n!} x^{n} }\)

Obliczyć promień zbieżności i zbadać zbieżność na krańcach przedziału zbieżności.
\(\displaystyle{ \sum_{ n=0 }^{\infty } (\cos n) x^{n} }\)

Znaleźć bijekcję zbioru \(\displaystyle{ (0,1) \rightarrow (0,3]}\)
Zrobiłem tak, ale nie wiem, czy to jest dobrze:

\(\displaystyle{ f(n)= \begin{cases} \frac{3}{n+2} &\text{dla }n= \frac{1}{n+1} , n \ge 1\\ 3n &\text{dla pozostałych} \end{cases} }\)

Znaleźć elementy najmniejszy, największy, minimalne i maksymalne względem tej relacji (o ile istnieją).
\(\displaystyle{ X= \left\{1,2,4,8,9,11,13,16 \right\} }\)
\(\displaystyle{ a \le b \Leftrightarrow a \mid b}\)

Udowodnić nierówności:
\(\displaystyle{ \cos x>1- \frac{1}{2}x ^{2} }\) dla każdego \(\displaystyle{ x >0}\)
\(\displaystyle{ e ^{x} >1+x+ \frac{1}{2}x ^{2} }\) dla każdego \(\displaystyle{ x >0}\)
Chyba trzeba policzyć pochodne i \(\displaystyle{ f(0)}\), ale nie wiem jak to wykorzystać, nie umiem sprawdzić kiedy pochodna jest większa od zera.

Wyznaczyć wszystkie funkcje ciągłe określone na odcinku \(\displaystyle{ [0,1]}\) i o wartościach całkowitych.

Udowodnij, że następujące dwa zbiory są równoliczne:

\(\displaystyle{ A=\{ f \in \NN ^{\NN}: \forall n \in \NN (f(n) \le f(n+1))\},\\
B=\{ f \in \NN ^{\NN}: \forall n \in \NN (f(n) < f(n+1))\}.}\)

Nie wiem na jakiej zasadzie tworzy się te zbiory \(\displaystyle{ z}\). Trzeba "omijać" ten zbiór \(\displaystyle{ X}\) czy jak?

Zadanie ze zbioru Guzicki, Zakrzewski Zadanie 6.8 W każdym z poniższych przypadków, dla danego zbioru X i dowolnego nieskończonego ciągu \left\langle x _{n} \right\rangle _{n \in \NN} elementów tego zbioru znajdź, stosując metodę przekątniową, element z \in X \ \left\{ x _{n}: n \in \NN \right\} : c...

Obliczyć granicę z reguły de l'Hospitala:
\(\displaystyle{ \lim _{x \rightarrow 0} x ^{x} }\). Wyszło mi \(\displaystyle{ e ^{x \ln x} }\), ale nie wiem co dalej.

2. Mówimy, że funkcja f: I \rightarrow \RR ( I jest przedziałem, a nawet dowolnym podzbiorem zbioru \RR ) spełnia na I warunek Lipschitza ze stałą L \ge 0 , jeżeli \left| f(x)-f(y)\right| \le L\left| x-y\right| dla x, y należących do I . Pokazać, że funkcja f spełniająca warunek Lipschitza na I jest...

1. Wykazać, że jeśli funkcja f: \RR \rightarrow \RR jest jednostajnie ciągła na \RR , to istnieją takie liczby a \ge 0 oraz b \ge 0 , że \left| f(x)\right| \le a\left| x\right| + b dla każdego x\in\RR . 2. Mówimy, że funkcja f: I \rightarrow \RR ( I jest przedziałem, a nawet dowolnym podzbiorem zbio...