Matematyka.pl

Ponieważ w innym wypadku nigdy równość się nie spełni, a wynika to z faktu, że \(\displaystyle{ p,r\in\NN, q, s\in\NN^+}\)i mamy z lewej strony podstawę parzysta, a z prawej strony nieparzysta i podniesione do dowolnego wykładnika innego niż 0 da nam sprzeczność z założeniem, że\(\displaystyle{ 2^{ \frac{p}{q} } = 3^{ \frac{r}{s} }}\).

Nie operuję na liczbach rzeczywistych, \(\displaystyle{ p,q,r,s}\) należą wszystkie do naturalnych.

Ponieważ w innym wypadku nigdy równość się nie spełni, a wynika to z faktu, że mamy z lewej strony podstawę parzysta, a z prawej strony nieparzysta podniesione do dowolnego wykładnika innego niż 0 da nam sprzeczność z założeniem, że \(\displaystyle{ 2^{ \frac{p}{q} } = 3^{ \frac{r}{s} }}\)

\(\displaystyle{ 2^{ \frac{p}{q} } = n}\)
\(\displaystyle{ 3^{ \frac{r}{s} }= n}\)
Skoro oba mają być równe \(\displaystyle{ n}\) to:
\(\displaystyle{ 2^{ \frac{p}{q} } = 3^{ \frac{r}{s} }}\)
Żeby \(\displaystyle{ L=P}\) dwa z \(\displaystyle{ p,q,r,s}\) muszą być równe 0, a wiemy, że \(\displaystyle{ q, s > 0}\) także \(\displaystyle{ p , r = 0}\) zatem
\(\displaystyle{ 2^{ \frac{0}{q} } = 3^{ \frac{0}{q} } = n}\)
\(\displaystyle{ 1 = 1 = n}\)

Tym razem?

Korzystając z definicji logarytmu,
\(\displaystyle{ 2^{ \frac{p}{q} } = n}\)
\(\displaystyle{ 3^{ \frac{r}{s} } = n}\)

Wiemy, że \(\displaystyle{ q > 0}\) i \(\displaystyle{ s > 0}\) i \(\displaystyle{ n=1}\), także \(\displaystyle{ p=0}\) i \(\displaystyle{ r=0}\)

\(\displaystyle{ 2^{0} = n}\)
\(\displaystyle{ 3^{0} = n}\)

\(\displaystyle{ 1 = n}\)
\(\displaystyle{ 1 = n}\)

c.n.d?

Coś takiego?

Czyli mam założyć, że każda liczba naturalna \(\displaystyle{ n}\), dla której liczby \(\displaystyle{ \log_2 n}\) i \(\displaystyle{ \log_3 n}\)
są wymierne, sa liczby \(\displaystyle{ n\ge 2}\)?

Niestety nie bardzo wiem jak zabrać się za to zadanko, mógłbym prosić o jakieś sugestie?
Pokaż, że jedyną liczbą naturalną n, dla której obie liczby \(\displaystyle{ \log_2 n}\) i \(\displaystyle{ \log_3 n}\)
są wymierne, jest liczba \(\displaystyle{ n = 1}\).

Okej dziękuję za pomoc, faktycznie widać tą zależność, czy w przykładzie b) moge usunąć te równania? x\equiv 1 \pmod{3}\\ x\equiv 1 \pmod{4}\\ x\equiv 1 \pmod{2} ponieważ rozwiązania są w x\equiv 1 \pmod{6} ?-- 20 sie 2019, o 00:29 --Okej, można zamknąć, znalazłem inną zależność, wynik prawidłowy, d...

Witam, szukam małej pomocy z układami kongruencji otóż, obyłem się z prostszymi przykładami już aczkolwiek trafiłem na takie coś. a) \begin{cases} x\equiv 1 \pmod{15} \\ x\equiv 22 \pmod{36} \end{cases} b) \begin{cases} x\equiv 1 \pmod{12} \\ x\equiv 7 \pmod{18} \\ x\equiv 13 \pmod{42} \end{cases} T...