Matematyka.pl

Tak jeszcze dla uściślenia. Jeżeli dobrze zrozumiałem to napisałeś, że rodzina
\[
\Sigma_{\xi}^0(X)
\]tworzy wstępujący ciąg zbiorów tzn. dla \xi<\xi' mamy \Sigma_{\xi}^0(X)\subset \Sigma_{\xi'}^0(X) ? Tego nie jestem pewien. Dla przestrzeni topologicznej (X, \tau) gdzie
X=\{0,1\}, \tau=\{\emptyset ...

Ano tak
\[
\xi_0=\bigcup \{\xi_n\colon n \in \mathbb N\}=\xi_1\cup \xi_2\cup \xi_3\cup ...
\]tj. suma mnogościowa zbiorów \(\displaystyle{ \xi_n}\).

W sumie to pewnie nie jest aż tak potrzebne ale wystarczy żeby \xi_n \leq \xi_0 i wtedy może wystarczy \xi_0=\{\xi_n \colon n \in \mathbb N\} - przeliczalny zbiór liczb porządkowych. Wtedy mielibyśmy
\[
A_n \in \Sigma_{\xi_0}^0(X)\quad\Rightarrow A_n \in \Pi_{\xi_0+1}^0(X)\quad\Rightarrow \bigcup_n ...

Muszę porządnie nadrobić liczby porządkowe. A tak wyprzedzając fakty to z czego będzie wynikać ta zamkniętość na przeliczalne operacje? Czy jeżeli
\[
A_n \in \Sigma_{\xi_n}^0(X)
\]dla pewnych \xi_n<\omega_1 to wtedy istnieje liczba porządkowa \xi_0<\omega_1 taka, że \xi_n<\xi_0 czy jeszcze o coś ...

Miałem przeczucie, że nie rozumiem sumowania
\[
\bigcup_{\xi<\omega_1}\Sigma_{\xi}^0(X).
\]Mimo wszystko myślałem, że w gruncie rzeczy jest to suma po naturalnych. Z tego co widzę to chyba nie zwróciłem uwagi na "niewielką" różnicę między \omega, \omega_1.

Czyli wygląda na to, że ta rodzina jest ...

Mam problem ze zbiorami borelowskimi. Nie za bardzo wiem dlaczego rodzina
\[
\bigcup_{\xi<\omega_1}\Sigma_{\xi}^0(X)
\]wyczerpuje wszystkie zbiory borelowskie. Bazując na książce Classical Descriptive Set Theory S. Kechris mamy następujące definicje:
Dla 1\leq \xi<\omega_1 definiujemy
\[
\Sigma_1^0 ...

Witam.
Dany jest kwadrat 6 na 6. Ile punktów zmieści się w tym kwadracie wiedząc, że każde dwa różne punkty muszą być oddalone od siebie o co najmniej 2 (włącznie z liczbą 2). Podaj liczbę punktów i udowodnij, że jest ona optymalna. Na jakie twierdzenia z fachowej matematycznej literatury można się ...

Dowód okazał się być trywialny.

P(\{\omega \in \Omega \colon X(\omega)+Y(\omega)\in B\})=

P\bigl(\bigl\{\omega \in \Omega \colon (X(\omega),Y(\omega))\in \{(x, y) \colon x+y\in B\}\bigr\}\bigr)

=P_{(X, Y)}(\{(x, y) \colon x+y\in B\})


Zatem nie potrzebujemy tutaj korzystać z wartości ...

Dzięki za namiary do książek. Nie pozostaje mi zatem nic innego jak przebrnąć przez te dowody dla szczególnego przypadku. Na razie przeglądam książkę Durretta, Probability: Theory and Examples, ale na razie nie czuję gdzie jest ten kluczowy moment w dowodzie. Może sedno jest we własnościach całki ...

Dobra, udało mi się to uzasadnić. W tym momencie wcale nie uważam tego za oczywiste. Więc tak:
Uzasadnimy najpierw równość
P(X+Y<z)=P_{(X, Y)}(\{(x,y)\in \mathbb R^2 \colon x+y<z\}).
Zbiór
\{(x,y)\in \mathbb R^2 \colon x+y<z\}
przedstawiamy jako przeliczalną sumę rozłącznych przedziałów ...

Witam serdecznie. Ostatnimi czasy analizuję dowody pewnych twierdzeń ze zmiennych losowych. Niejasne jest dla mnie miejsce w dowodzie faktu, iż gęstość sumy niezależnych zmiennych losowych typu ciągłego wyraża się za pomocą splotu. Konkretnie chodzi o równość
P(X+Y \in B)=P_{(X,Y)}(\{(x,y): x+y \in ...