Matematyka.pl

Twierdzenie (Zasada argumentu) Niech D \subset C będzie obszarem (zbiorem otwartym i ograniczonym), zaś \partial D - konturem (krzywą regularną). Jeżeli funkcja f jest funkcją meromorficzną w D i f nie ma ani zer ani biegunów na \partial D , to przyrost argumentu f podzielony przez 2\pi równa się r...

Zadanie: Wyznaczyć liczbę rozwiązań poniższych równań. x+1=2\arctan{x} 2x+\frac{1}{x}=\ln{x}+ 4 Pytanie: W jaki sposób robi się takie równości? To zadanie znajduje się pośród zadań z ekstremów funkcji jednej zmiennej. Moje przypuszczenie jest takie, że trzeba użyć jednego z twierdzeń o wartości śred...

Treść zadań: 1. Pewien związek chemiczny rozpada się tak, że szybkość rozpadu jest proporcjonalna do pozostającej jeszcze ilości związku w potędze \alpha > 0 . Napisać równanie różniczkowe i zdecydować, dla jakich \alpha związek całkowicie zaniknie w skończonym czasie. 2. Liczba bakterii w zainfeko...

Rozwiązać równanie: \(\displaystyle{ x^{(5)}+x^{(3)}=t+2e^{-t}}\).

Rozwiązuję równanie niejednorodne.
\(\displaystyle{ r^3(r^2+1)=0}\)
\(\displaystyle{ r_{1,2,3}=0, r_4=i, r_5=-i}\)

Czy rozwiązanie ogólne równania jednorodnego będzie wyglądało tak?:
\(\displaystyle{ y=C_1+C_2t+C_3t^2+C_4\sin{t}+C_5\cos{t}}\)

Korzystając z definicji Cauchy’ego granicy funkcji w punkcie, wykaż, że \lim_{x \to 2} x^2 = 4 . Dla ścisłości, definicja Cauchy'ego z wpisanymi odpowiednimi wartościami (taką mieliśmy na wykładzie): \lim_{x \to 2} x^2 = 4 \Leftrightarrow \forall \epsilon>0,\exists \delta,\forall x\in \mathbb{R} : ...

Niech y(x) będzie funkcją uwikłaną równaniem f(x,y)=0 , gdzie f:\RR^n \times \RR^m \rightarrow \RR . Podać postać macierzy Jacobiego funkcji y(x) . To pytanie na egzamin ustny, ale w skrypcie z wykładu nie ma na nie odpowiedzi. Jest tylko wzór na pochodną cząstkową y zapisany w taki sposób: \frac{ ...

Podać postać różniczki dowolnego rzędu operatora liniowego z podzbioru \RR w dowolną przestrzeń unormowaną Y . Dla dowolnego operatora f: \RR \rightarrow \RR^d postać k -tej różniczki w punkcie x byłaby chyba taka: d^kf_x(u) = \left[\begin{array}{c}f^{(k)}_1(x)\\f^{(k)}_2(x)\\ \ldots \\f^{(k)}_d(x)...

Twierdzenie o istnieniu różniczki odwzorowania z \RR^d w \RR : Niech f: U \to \RR , gdzie U \subset \RR^d . Wtedy jeśli w otoczeniu punktu x \in U istnieją wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu f i są w x ciągłe, to istnieje różniczka df_x . Jak brzmi wersja tego twierdzenia dla funkcji g: ...

Funkcja regularna rzędu k , to funkcja mająca ciągłe pochodne do k -tego stopnia. Istnieje warunek wystarczający różniczkowalności funkcji wielu zmiennych: Jeśli wszystkie pochodne cząstkowe 1 rzędu istnieją i są ciągłe to funkcja jest różniczkowalna. Poza tym, na egzaminie napisałem kiedyś "Fu...

Dane są proste skośne: l_1:\begin{cases} x = 1 -t\\ y=2-t , t \in R \\ z = 6+2t\end{cases} l_2:\begin{cases} x = 2+t\\ y=-2t , t \in R \\ z = 4+t\end{cases} Wyznacz prostą l przecinającą prostopadle l_1 oraz l_2 . Wektor szukanej prostej to iloczyn wektorowy \left[ -1,-1,2\right] \times \left[ 1,-2,...

Na powierzchni o równaniu z = xy + 5 wyznaczyć punkt(y), które znajdują się najbliżej punktu (0,0,0) . ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Próbowałem zrobić to zadanie rozszerzając...

Norma operatora A \in L(X,Y) (X i Y to przestrzenie unormowane): \| A\| = \inf \{ L \ge 0: \forall x \in X, \| Ax\| \le L \cdot\| x\| \} Fragment dowodu, że norma operatora liniowego i ciągłego spełnia warunki normy w przestrzeni liniowej operatorów ciągłych i liniowych L(X,Y) : \ldots \underline{\|...

Czy istnieje pojęcie funkcji elementarnych wielu zmiennych i czy ma pożądane własności jak \(\displaystyle{ k}\)-regularność?