Matematyka.pl

W takim razie jak jest poprawnie ?

Niech \(\displaystyle{ \beta_{1}, \beta _{2} }\) będą bazami topologii \(\displaystyle{ T}\). Czy \(\displaystyle{ \beta :=\left\{ A \cup B : A \in \beta _{1}.B \in \beta _{2} \right\} }\) jest także bazą topologii \(\displaystyle{ T}\)?
Jak to sprawdzić . Mam wypisane jakie własności spełniają bazy topologii , ale nwm jak to wykorzystać i zapisać formalnie

Sprawdź czy zbiór \(\displaystyle{ A=\RR \setminus \ZZ}\) jest brzegowy, gęsty , nigdziegęsty.
Znam definicję pojęć zatem sprawdzam wnętrze, domknięcie :\(\displaystyle{ \Int A=\RR \setminus \ZZ,\cl A=\RR,\Int \RR=\emptyset}\)

Czy dobrze myślę, bo mam wątpliwości akurat w tym przykładzie?

Jeśli \(\displaystyle{ \left\{ T _{i} \right\} _{i∈I} }\) jest rodziną topologii w zbiorze \(\displaystyle{ X}\) , to ich przecięcie \(\displaystyle{ \bigcap_{i \in I}^{}T _{i} }\) też jest topologią.

Nie mam pomysłu jak sie zabrać za ten dowód.

Kombinowałam , ale nic sensownego nie otrzymałam.
Mam jeszcze pytanie do innego zadania : mam udowodnić , że \(\displaystyle{ ||x||=\max \left\{|x _{1}| ,|x _{2}| \right\} .}\) Mam problem z udowodnieniem 3 punktu \(\displaystyle{ ||x+y|| \le ||x||+||y||.}\)

Udało się, został jeszcze ostatni punkt dostałam taką nierównośc \(\displaystyle{ ||x-y|| \le ||x-z||+||z-y|| }\). Nie mam pomysłu co tu dodać

Pierwszy punkt zrobiony. Podpowiesz na co sie powołać aby udowodnić , że \(\displaystyle{ ||x-y||=||y-x||}\)

Bez obaw pytam po to aby zrozumiec, a nie po to żeby mieć rozwiązane zadanie

Niech\(\displaystyle{ || \cdot ||}\) będzie normą na przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ V}\). Pokaż, że norma ta indukuje metrykę \(\displaystyle{ d}\) za pomocą formuły \(\displaystyle{ d(x,y):=||x-y||}\).
Nie mam pojęcia jak zabrać się za to zadanie

To, że jest niemalejąca to wiem jak sprawdzić , ale nie mam pomysłu jak sprawdzić czy spełnia nierówność \(\displaystyle{ f(a+b) \le f(a)+f(b)}\)

Super, wszystko jasne dziękuję

Aby sprawdzić, że f(x) spełnia warunek wystarczy rozpisać i powołać się na fakt ,że licznik rośnie szybciej niz mianownik , więc nierówność jest spełniona?

Warunek 1 jet prosty do zauważenia . Natomiast mam problem z zapisaniem/uzasadnieiem 2 i 3

Dobrze myślę , że warunek 1 i 2 wychodzi od razu z tego ze \(\displaystyle{ d}\) jest metryka ?
Ale nie mam pojęcia jak udowodnić 3 punkt.