Matematyka.pl

Wbrew pozorom 48,5 % to bardzo dużo. Według tabelki ze strony liczbypierwsze.com/pl/ w tym przedziale liczb pierwszych jest ok. 10,72%*2=21,44%. Nie chcę Ci psuć humorku, ale \(43,75\%\) wśród \(400\) początkowych wyrazów ciągu zdefiniowanego tak banalnym równaniem jak \(a_n = 6n+1\) to liczby pier...

Wykonałem sprawdzenie z kilkoma losowymi wartościami i mi się zgadza. Jesteś pewny, że \(x\) oraz \(y\), które podstawiałeś sprawdzając, spełniają początkowy układ równań? Tu masz wizualizację tych równań: https://www.desmos.com/calculator/2bxzq1xp6i Punkt przecięcia czerwonej i fioletowej prostej (...

Sądzę, że zapędziłeś się w ślepy zaułek. Po pierwsze na samym początku dodaj odpowiednie sinusy i cosinusy. Powinno chyba wyjść coś takiego: $$l_{22}\sin({\varphi_{22}}) + l_{33}\sin({\varphi_{22}-310^\circ})=l_{22}\sin({\varphi_{22}}) + l_{33}\sin({\varphi_{22}+50^\circ}) = \sqrt{l_{22}^{2}+l_{33}^...

Rzucamy kostką czworościenną. Niech \(u\in\{1,2,3,4\}\) to wynik rzutu. Niech \(X_1 = 1 \iff u\in\{1,2\}\) i \(X_1 = 0 \iff u\in\{3,4\}\). Niech \(X_2 = 1 \iff u\in\{1,3\}\) i \(X_2 = 0 \iff u\in\{2,4\}\). Niech \(X_3 = 1 \iff u\in\{2,3\}\) i \(X_3 = 0 \iff u\in\{1,4\}\). Ciąg indeksów \(i_1,i_2,......

Liczba z \(n+1\) jedynkami w zapisie dziesiętnym to $$10^{2n}+10^{2n-2}+...+1 = \frac{10^{2n+2}-1}{10^2-1} = \frac{\left(10^{n+1}+1\right)\left(10^{n+1}-1\right)}{10^2-1}$$ Dla \(n\) parzystego \(10^{n+1}+1\) jest podzielne przez \(11\), dla nieparzystego \(10^{n+1}-1\) jest podzielne przez \(11\). ...

Równanie ruchu to w tym wypadku: $$ \alpha\left(t\right) = \alpha_m\sin\left(\frac{2\pi}{T}t+\varphi_0\right) $$ Różniczkując po czasie otrzymujemy: $$ \omega\left(t\right) = \alpha_m\frac{2\pi}{T}\cos\left(\frac{2\pi}{T}t+\varphi_0\right) $$ Znasz wartości \(\alpha(0)\) i \(\omega(0)\). Masz zatem ...

Zauważamy, że $$ \lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{1}{\log n}\right)^{\log_{\log n}n} = \lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{1}{\log n}\right)^{\frac{\log n}{\log\log n}} = \lim_{n\to\infty} \left(\left(1-\frac{1}{\log n}\right)^{\log n}\right)^{\frac{1}{\log\log n}} = \left(\frac{1}{e}\right)^0 = 1 $$ ora...

Alternatywnie: Ze wzoru na sumę piątych potęg: \( 10^{15}+1^{15} = (10^3)^5+(1^3)^5 = (10^3+1^3)(...) = 1001(...) = 7\cdot11\cdot13(...)\).

No a skąd wiesz czy \(P(n)\) jest zbieżny?

No tak, przecież \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} (-1)^n = 1}\). Wystarczy wziąć podciąg złożony z liczb parzystych.

Błędy tylko przy obliczaniu \( \int\limits_{1}^{c} 2-a \ da\) i \(\int\limits_{c-1}^{2} 2-a \ da \).

\(4^n\) czyli tyle, by każdy element \(\{1,...,n\}\) wiedział czy należy do \(A\), tylko do \(B\) i \(C\), tylko do \(C\), czy do żadnego z nich.

Pierwsza całka: \(\int\limits_{0}^{x} f(x)f(x-t) dt = \int\limits_{0}^{x} 2t\cdot2(x-t) dt = \int\limits_{0}^{x}4xt-4t^2 dt = 4x\int\limits_{0}^{x} t \ dt - 4\int\limits_{0}^{x}t^2\ dt = \frac{4x^3}{2}-\frac{4x^3}{3}=\frac{2x^3}{3} \). W drugiej powinno wyjść \((2x-\frac{4}{3})-(2x(x-1)^2-\frac{4}{3...

dzialka11o pisze: ↑29 gru 2023, o 20:31 OK : To się zgadza , ale w sposób jawny i tak nie znajdziemy wartości tych katów .

Chyba znajdziemy... Zdaje się, że jedynym trójkątem spełniającym warunki zadania jest trójkąt równoboczny, czyli o wszystkich kątach równych \(60^\circ\)...

Niech \(f(n)\) to liczba zapalonych bitów w \(n\)-tym wierszu piramidki (każdy kolejny wiersz piramidki to XOR poprzedniego przesuniętego bitowo o 1 w lewo oraz poprzedniego oraz poprzedniego przesuniętego bitowo o 1 w prawo). Wtedy \(f(n)=3\) dla \(n\) będącego potęgą dwójki. Dla \(n\) parzystego \...