Matematyka.pl

Czy jeśli \(\displaystyle{ f\in BV([a,b])}\), to \(\displaystyle{ |f|^{p}\in BV([a,b])}\) dla \(\displaystyle{ p\in(0,1)}\)? Jeśli tak, w jaki sposób to udowodnić, jeśli nie, jaki jest kontrprzykład?

Niech zbiory A, B \subset X mają własność Baire'a oraz niech U, V będą takimi zbiorami otwartymi, że zbiór A\div U oraz zbiór B\div V są zbiorami pierwszej kategorii. Pokazać, że jeżeli zbiór A\cap B jest zbiorem pierwszej kategorii, to zbiory U i V są rozłączne, tzn. U\cap V=\emptyset .

Wykazać zbieżność szeregu oraz obliczyć jego sumę: \(\displaystyle{ \sum_{k=2}^\infty}\frac{1}{k\cdot \ln^{2}k}\)

W jaki sposób udowodnić, że jeżeli
\(\displaystyle{ f\in BV([a,b])}\) i \(\displaystyle{ V_{a}^{b}f=|f(b)-f(a)|}\), to funkcja jest monotoniczna?

A czy istnieje funkcja taka, że \(\displaystyle{ \in BV([a,b])}\) i dodatkowo \(\displaystyle{ V_{a}^{b}f=|f(b)-f(a)|}\), która nie jest monotoniczna?

Pokazać, że funkcja \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}}\), \(\displaystyle{ f(x)= \sqrt[8]{x^{2}+10^{8}} }\) spełnia warunek Lipschitza.

Czy istnieje funkcja, która ma wahanie ograniczone na przedziale \(\displaystyle{ [a,b]}\) (tzn. \(\displaystyle{ \in BV([a,b])}\)), a nie jest monotoniczna?
(Wiem, że każda funkcja monotoniczna ma wahanie ograniczone i \(\displaystyle{ V_{a}^{b}f=|f(b)-f(a)|}\), jednak czy prawdziwe jest twierdzenie odwrotne?)

Ile wynosi \(\displaystyle{ D_{\gamma'(t)}\gamma'(t)}\)? Czym różni się to od \(\displaystyle{ \nabla_{\gamma'(t)}\gamma'(t)}\)?

Dlaczego poniższy dowód twierdzenia, że każdą krzywą regularną można sparametryzować łukowo nie jest kompletny? (Dokładniej: jeżeli \gamma: I \mapsto \mathbb{R}^{n} jest taka, że \gamma ' \neq 0 , to istnieje funkcja \varphi: J \mapsto I klasy \mathcal{C}^{\infty} oraz \varphi ' \neq 0 dla pewnego p...

Mamy \(\displaystyle{ r(u,v)=(u, v, 2u^{2}+9v^{2})}\), w jaki sposób wykonać parametryzację unormowaną? Na zajęciach wyliczałam jedynie parametryzację łukową (unormowaną) dla krzywych, a tam zależało to od jednego parametru.

Na powierzchni \(\displaystyle{ z=2x^{2}+9y^{2}}\) znaleźć krzywiznę normalną w punkcie \(\displaystyle{ P=(0,0,0)}\) w kierunku wektora \(\displaystyle{ \left( \frac{ \sqrt{2} }{2}, \frac{ \sqrt{2} }{2},0\right) }\).

Udowodnić, że każda przestrzeń wektorowa (liniowa) unormowana jest przestrzenią łukowo spójną.

Wystarczy po prostu skorzystać z faktu, że suma i iloraz (o ile mianownik różny od zera) funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą?

Niech \(\displaystyle{ (X,d)}\)- przestrzeń metryczna, \(\displaystyle{ K, L \subset X}\) - domknięte i rozłączne.
Pokazać, że funkcja \(\displaystyle{ f: X \rightarrow \left[ 0,1\right] }\) określona wzorem \(\displaystyle{ f(x)= \frac{d(x,K)}{d(x,K)+d(x,L)} }\) jest ciągła.

Bardzo dziękuje za pomoc.