Matematyka.pl

Punkt P leży wewnątrz kwadratu ABCD , przy czym PA : PB : PC = 1 : 2 : 3 . Znajdź miarę kąta APB.

Moim pomysłem było zrzutowanie punktu P na boki kwadratu. Powstają 4 trójkąty prostokątne i można skorzystać z tw. Pitagorasa (z którego należy skorzystać w tym zadaniu). Część wyrazów się zredukowała ...

Załóżmy, że \(\displaystyle{ Y }\) jest podprzestrzenią przestrzeni unormowanej \(\displaystyle{ X}\). Pokazać, że dla każdego \(\displaystyle{ x \in X}\) zbiór \(\displaystyle{ Y_{x}}\), złożony ze wszystkich
elementów najlepszej aproksymacji dla \(\displaystyle{ x}\) w zbiorze \(\displaystyle{ Y}\) , jest zbiorem ograniczonym i wypukłym.

\lim_{ (x,y)\to (0,0)} \left( \frac{\log( \frac{x}{e^{y}} +1)}{ \frac{x}{e^{y}} } -e^{y}\right)\cdot \frac{ \frac{x}{e^{y}} }{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} =\lim_{r \to 0} (1-e^{r\cdot\sin( \alpha )})\cdot \frac{r\cdot\cos( \alpha )}{e^{r\cdot\sin(\alpha)}\cdot r} W tym kroku przechodzisz do granicy tylko ...

Pomyślałem o czymś takim:
\lim_{ (x,y)\to (0,0)} \frac{\log(x+e^{y})-x-y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} = \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\log (\frac{x+e^{y}}{e^{y}})-x }{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} = \lim_{ (x,y)\to (0,0)} \frac{\log( \frac{x}{e^{y}}+1 )}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} = \lim_{ (x,y)\to (0,0)} \left( \frac{\log ...

Zbadaj istnienie granicy
\(\displaystyle{ \lim_{ (x,y)\to (0,0)} \frac{\log(x+ e^{y})-x-y}{ \sqrt{x^{2}+y^{2}} } }\)

Udowodnić, że

\(\displaystyle{ \tg (\sin (x)) > \sin (\tg (x))}\) dla \(\displaystyle{ x\in \left(0, \frac{\pi}{4} \right]}\)

Mam taki pomysł, żeby w punktach nieciągłości funkcji \(\displaystyle{ \lfloor x \rfloor}\) funkcja \(\displaystyle{ \cos (Ax)}\) miała wartość 0. Ale nie wiem co z tym dalej zrobić, bo jeśli np. dla \(\displaystyle{ x=1: \cos (A)=0}\), to \(\displaystyle{ A= \frac{\pi}{2}+k\pi}\) dalej mi się to psuje

Dla jakich stałych rzeczywistych \(\displaystyle{ A}\) funkcja
\(\displaystyle{ f(x)= \lfloor x \rfloor \cos (Ax) , x \in \mathbb{R}}\)
jest ciągła na \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)?

Jak ogólnie zabierać się za tego typu zadania?

Myślę nad taką granicą, wolfram wypluł -2, zastanawiam się jak to ugryźć

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\ln (1-2 \sin ^2 x)}{x^2}}\)