Matematyka.pl

Ostatnio natknąłem się na Problem Collatza, według Wikipedii nierozstrzygnięty dotychczas problem, który pyta, czy ciąg zadany rekurencyjnie: c_{n+1}=\begin{cases} \frac{c_{n}}{2} , c_{n}=0 (\bmod2) \\3c_{n}+1, c_{n}=1 (\bmod2) \end{cases} zawsze wpadnie w pętlę 4,2,1 niezależnie od wyboru c_{0} . I...

u_{2}=v_{2}-\frac{<v_{1},u_{1}>}{<u_{1},u_{1}>}u_{1}=\begin{bmatrix} 1&0&0\end{bmatrix} -\frac{1*1+(-1)*0+2*0}{1*1+(-1)*(-1)+2*2}\begin{bmatrix} 1&-1&2\end{bmatrix}= tutaj v_{2} powinno być w liczniku u_{2}=v_{2}-\frac{<\red{v_{2}},u_{1}>}{<u_{1},u_{1}>}u_{1}=\begin{bmatrix} 1&0...

Załóżmy, że w pierwszym losowaniu wylosowaliśmy liczbę \(\displaystyle{ k}\). Teraz pytanie ile jest takich liczb \(\displaystyle{ m}\), dla ustalonego \(\displaystyle{ k}\), spełniających \(\displaystyle{ \frac{k}{m} \in \left[1,2 \right) }\). Jak już na to odpowiemy starczy wysumować po \(\displaystyle{ k}\) przebiegającym od 1 do \(\displaystyle{ 2n}\).

Możemy sobie zapisać prawdopodobieństwo że w k-rzutach trafimy dokładnie trzy piątki. Dla \(\displaystyle{ k=1,2}\) nie ma szans, prawdopodobieństwo to zero. Dla \(\displaystyle{ k=3}\) mamy \(\displaystyle{ P(A)= \frac{1}{ 6^{3} } }\). Dla \(\displaystyle{ k>3}\) mamy \(\displaystyle{ P(A)= \frac{1}{ 6^{3} } \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^{k-3} }\)

W szczególnych przypadkach wynika to z rozkładów, np. suma zmiennych z rozkładu Poissona ma też rozkład Poissona a jego współczynnik to suma współczynników. Podobnie jest z rozkładem normalnym. A tak w ogólności to istnieje pojęcie funkcji charakterystycznych rozkładu i możemy znaleźć funkcję charak...

Łańcuch markowa można rozrysować ze stanami (0Ż,0P), (1Ż,0P), (2Ż,0P),(3Ż,0P), (0Ż,1P), (1Ż,1P), (2Ż,1P),(3Ż,1P), (0Ż,2P), (1Ż,2P), (2Ż,2P),(3Ż,2P), ... I prawdopodobieństwa przejść między odpowiednimi stanami to \frac{1}{3} do odpowiednich i \frac{1}{3} na zostanie w miejscu. Punkt (0Ż,0P) a punkta...

Niech A oznacza zdarzenie, że usłyszymy sekretarkę. P(A)= \frac{12}{100} \cdot 0.8= \frac{96}{1000} . I w sumie tyle. Informacja o tym jaka jest szansa że osoby bez sekretarki jest nieobecna jest nieistotna. Totalnie formalnie możnaby napisać jeszcze z prawdopodobieństwa całkowitego, że: P(A)= \frac...

Zastanawiam się czy da się zdefiniować rozkład jednostajny na wszystkich liczbach rzeczywistych? To znaczy że prawdopodobieństwo wylosowania każdej liczby rzeczywistej jest takie samo i jakby taki obiekt wyglądał. Jego funkcja gęstości musiałaby być ciągła na \RR . A skoro ma gęstość więc prawdopodo...

Niech f będzie niestałą funkcją holomorficzną określoną w obszarze U zawierającym domknięte koło D(0, 1). Pokazać że jeśli dla każdego z \in S1 =\left\{ z : \left| z\right| = 1\right\} mamy \left| f(z)\right| = 1 , to f ma przynajmniej jeden pierwiastek w kole D\left( 0,1\right) . No i nasuwa się od...

Zauważ, że dla rozkładu dwupunktowego \(\displaystyle{ P(X=a)=p, P(X=b)=1-p}\) funkcja charakterystyczna to \(\displaystyle{ p \cdot e^{ita}+(1-p) \cdot e^{itb}}\).
A więc u ciebie łatwo wnioskujemy, że jest to funkcja charakterystyczna rozkładu \(\displaystyle{ P(X=-1)= \frac{1}{2},P(X=0)= \frac{1}{3},P(X=2)= \frac{1}{6} }\)

Czym jest równanie Itô? Jedyne co słyszałem na analizie stochastycznej to wzór Itô do liczenia różniczki stochastycznej.

Coś tu masz nie tak bo dystrybuanta jest niemalejąca a u ciebie \(\displaystyle{ F_{X}( -\frac{1}{2} )= \frac{1}{21} }\) oraz \(\displaystyle{ F_{X}(0)=0}\)

Zmienne są i.i.d więc starczy sprawdzić czy zachodzi E\left| X_{1}\right| < \infty . I wartość oczekiwaną dyskretną liczymy z definicji: E\left| X_{1}\right|= \sum_{k=0}^{ \infty } 2^{k} \cdot \left( \frac{2^{k+1}}{10^{k+1}} \right)=\sum_{k=0}^{ \infty } \frac{1}{5} \cdot \left( \frac{2}{5} \right) ...

Skorzystaj z faktu że jeśli \(\displaystyle{ X,Y}\) mają gęstości, odpowiednio \(\displaystyle{ g_{X}}\) oraz \(\displaystyle{ g_{Y}}\) to zachodzi \(\displaystyle{ g_{X+Y}=g_{X}*g_{Y}}\) gdzie \(\displaystyle{ *}\) to splot funkcji a \(\displaystyle{ g_{X+Y}}\) to poszukiwana gęstość.

Możesz zdefiniować zmienną losową X_{i} która przyjmuje 1 gdy w i-tym rzucie wypadnie szóstka oraz 0 w przeciwnym przypadku. Wówczas liczba wyrzuconych szóstek to: \sum_{i=1}^{180} X_{i} . I szukasz takiego n że zachodzi: P\left( \sum_{i=1}^{180} X_{i} \le n\right)=0,9 i przekształcasz to do CTG iid.