Matematyka.pl

Po dodaniu 1 i 2 mamy 3:
\(\displaystyle{ 100(x−y)+50(y−z)=24(x−z)}\)
\(\displaystyle{ 76x−50y−26z=0}\)
Można by wyliczyć x i wstawić do 1 i 3 równości, ale to też skomplikowane rachunki...

Wyznacz wszystkie \(\displaystyle{ x,y,z \in \RR}\) takie, że

\(\displaystyle{ x^5 − y^5 = 100(x−y)}\)
\(\displaystyle{ y^5 − z^5 = 50(y−z)}\)
\(\displaystyle{ x^5 − z^5 = 24(x−z).}\)

Wykaż że istnieje granica ciągu zdefiniowanego następująco \(\displaystyle{ a_1= \frac{1}{2} ,a_2=1, (a_{n+2})^2=2+a_n-a_{n+1}.}\)

Niech \(\displaystyle{ x,y>0}\). Pokaż, że \(\displaystyle{ \frac{1}{x^2}+y^2\ge\sqrt{2\left(\frac{1}{x^2}+x^2\right)} \cdot (y-x+1).}\)

Elipsa jest wpisana w trójkąt prostokątny tak że jej główna oś jest równoległa do przeciwprostokątnej. W elipsę wpisano dwa okręgi o tym samym promieniu. Trzeci okrąg o tym samym promieniu co dwa poprzednie jest styczny do przyprostokątnych i do elipsy. Wiedząc ze przyprostokątne wynoszą a i b, wyzn...

A jaki byłby wtedy rysunek??

Ok niech będzie i jak wykazać to 45 stopni wtedy?

Rysunek:

Dwa kąty kwadratu o boku \(\displaystyle{ a}\) wystają poza pas o szerokości \(\displaystyle{ a}\) o równoległych krawędziach. Boki kwadratu przecinają krawędzie paska w czterech punktach. Wykazać, że przekątne czworokąta, którego wierzchołkami są te punkty, przecinają się pod kątem \(\displaystyle{ 45}\) stopni.

Niech \left(a_{n}\right) bedzie ciagiem liczb dodatnich takich że \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left(a_{1}+\cdots+a_{n}\right)}{n} < \infty , \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{n}=0 . Czy z tego wynika ze \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}}{n^{2}}=0 ?

Niech \(\displaystyle{ a,b,c \in \mathbb{R}}\). Wykaż że
\(\displaystyle{ \left(a^3+3 b^2 c\right)^2+\left(b^3+3 c^2 a\right)^2+\left(c^3+3 a^2 b\right)^2\geq 16 a b c \left(a^3+b^3+c^3\right).}\)

Wykaż, że nie istnieją wielomiany \(\displaystyle{ P(x),Q(x)\in \RR\left [ x \right ]}\) takie że \(\displaystyle{ P(n)/Q(n)=1+1/2+...+1/n}\) dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN,n \ge 1}\).

Zbadaj zbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{\cos (\log( \log n)) }{\log n} }\).

Zbadaj zbieżność całki \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } \frac{x}{1+x^6(\sin x)^2} }\).

Niech \(\displaystyle{ a,b>0}\) , wykaż że \(\displaystyle{ \dfrac{a^2-2ab+1}{a(2ab+1)}+\dfrac{1+3b^2}{3b} \geq \dfrac{4}{3}.}\)