Matematyka.pl

Dziękuję bardzo

f \left( x \right) = 4^{\cosh \left( x \right) } \log _{ \sqrt{x} }\cos \left( 3x \right) = \left( 4^{\cosh \left( x \right) } \right) ' \log _{ \sqrt{x} }\cos \left( 3x \right) +4^{\cosh \left( x \right) } \left( \log _{ \sqrt{x} }\cos \left( 3x \right) \right) ' pochodną \left( 4^{\cosh \left( x ...

Dobrze rozumiem że będzie ciągła tylko w punktach x=0 i x=-3? I jak to formalnie zapisać? Tak byloby dobrze? Wezmy x_{n} \rightarrow a . Dla x_{n} \in \QQ mamy \lim_{ x_{n} \to a} (3x+1) = 3a+1 . Dla x_{n} \notin \QQ mamy \lim_{ x_{n} \to a} (x+1)^3 = (a+1)^3 . 3a+1 = (a+1)^3 \\ ... \\ a=0 \mbox{ lu...

Zbadać ciągłość funkcji

\(\displaystyle{ f(x):= \begin{cases} (x+1)^3 &\mbox{gdy } x \notin \QQ \\ 3x+1 &\mbox{gdy } x \in \QQ .\end{cases}}\)

Wiem że trzeba to policzyć granicę pewnie z tw o trzech ciągach, ale nie wiem za bardzo jak...
\(\displaystyle{ a _{n} = \frac{1}{n} \sqrt[n]{n ^{n}-2 ^{n}}}\)
Ustaliłam, że
\(\displaystyle{ \frac{1}{n} \sqrt[n]{n^{n}-2^{n}}}\) \(\displaystyle{ \le \frac{1}{n} \sqrt[n]{n ^{n} }}\)
I teraz nie wiem..

Dana jest funkcja: \(\displaystyle{ f: \RR\ni x \longmapsto 2^{x^{2}+1}}\)
Znaleźć
\(\displaystyle{ f^{-1}(f([0,1])) \\ f^{-1}([-1,1]) \\ f(f^{-1}([0,1]))}\)
Nie rozumiem co oznaczają te przedziały \(\displaystyle{ [0,1], [-1,1]}\), jak zrobić to zadanie?
Będę wdzięczna za pomoc

Dziękuję bardzo za odpowiedź, czy dobrze myślę że dalej będzie tak?
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to\infty } 0=0}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to\infty } q ^{(n+1)} =0}\)
więc na mocy tw. o 3 ciągach
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to\infty } \left( (1- \frac{1}{n!+1} ) ^{n!} \right) ^{(n+1)} = 0}\)
Dobrze?