Matematyka.pl

Trzeba poczekać na wyniki, jednak takie rozwiązanie z rozpatrzeniem tylko jednego z analogicznych przypadków ocenia się na 5 punktów.

Zadania na pewno trudniejsze niż w zeszłym roku (próg 21 pkt) i nieco łatwiejsze niż 2 lata temu (próg 13 pkt). W tym roku osoby z pełnymi 3 zadaniami wydaje się, że powinny być spokojne o awans do finału, mniejsza szansa że wystarczą 2,5 zadania.

Problemy 4 i 5 naprawdę nie były proste z punktu ...

Zapraszam do uczestnictwa w wakacyjnej lidze zadaniowej na mojej stronie :

Aaa faktycznie, nie wiedziałem, w takim razie przepraszam za falstart.

Wrzućcie zadania z pierwszego dnia.

Jak ktoś startował w II etapie to napiszcie jak poszło i jaki przewidujecie próg (mam nadzieję, że jeszcze ktoś tu jest na forum, zwłaszcza wśród młodszych :) ). W mojej opinii 3 łatwe zadania i 2 trudne zadania (chociaż zadanie 2 trochę straszyło i chyba nie poszło za dobrze). Jak dla mnie próg ...

Dla n=2 mamy 4 wierzchołki i 5 krawędzi więc teza jest oczywista. Weźmy n>2 oraz o dowolnych dwóch wierzchołkach połączonych krawędzią powiemy, że są znajomymi. Mamy dwie możliwości albo istnieje para znajomych, którzy nie mają wspólnego znajomego albo nie.
1. W pierwszym przypadku oznaczmy ...

Witam :) Zachęcam uczestników do komentowania swoich wrażeń po finale, a także do wrzucenia zadań.

Dodano po 7 godzinach 39 minutach 1 sekundzie:
Zadanie 1
\frac{a}{b} = \frac{a ^{2}+ n ^{2} }{b ^{2}+n ^{2}}
a(b ^{2}+ n ^{2})=b(a ^{2}+ n ^{2})
ab ^{2}+ an ^{2}=ba ^{2}+ bn ^{2}
ab ^{2}+ an ...

Witam wszystkich w tym temacie i zapraszam do komentowania swoich wrażeń po II etapie, jak poszło, łatwe/trudne? Jaki przewidujecie próg?

Oznaczmy:
a_{n}= n^{ n^{n} }
Zapiszemy (przystawanie modulo 10):
a_{n+20}- a_{n}=(n+20)^{ (n+20)^{(n+20)} }- n^{ n^{n} } \equiv n^{ (n+20)^{(n+20)} }- n^{ n^{n} } \equiv n^{ n^{n} }(n^{ (n+20)^{(n+20)} - n^{n} }-1)
Powyższa liczba jest podzielna przez 2, gdyż jeżeli n jest podzielne przez 2 to ...

f(-x) = f(x) + 2x .
Stąd f(x) = 1-x (to chyba jest znany fakt, że rozwiązaniem takiej zależności jest funkcja liniowa).
Ależ skąd, przecież od razu widać, że to równanie uzależnia nam od siebie tylko i wyłącznie wartości liczb przeciwnych, można przyporządkować dowolną wartość każdej liczbie ...

9.:
Dla wygody traktujemy nasz ciąg a _{n} , jako funkcję f:Z _{+} \rightarrow Z _{+} . Zaczniemy od dowiedzenia paru własności funkcji f .
(1) Dla dowolnego i>1 mamy f(i)-f(i-1) \in \left\{ 0,1\right\} .
Dowód:
Łatwo sprawdzić, że jest to prawda dla kilku początkowych i . Załóżmy, że jest to ...

6.:
Na dowolnej osi symetrii wielościanu musi leżeć środek ciężkości jego wierzchołków.
7.:
Niech A _{1}, A _{2}, ..., A _{50} będą tymi gwiazdami, które astronom widzi po ciemku, a A _{51}, A _{52}, ..., A _{100} będą pozostałymi gwiazdami. Każdej parze gwiazd A _{i}, A _{j} , dla 1\le i,j \le ...

Niestety nie mam pomysłu na razie, więc oddaję kolejkę, aby nie blokować.

Rozwiązanie:
Najpierw pokażemy idukcyjnie, że:
(1) \frac{1}{a _{n} } - 1 = \prod_{1}^{n-1} \frac{1}{a_{i}}
Dla n=2 jest to prawda, teraz dowodzimy prawdziwości kroku indukcyjnego:
\frac{1}{a _{n+1} } - 1=1- \frac{1}{a _{n} } + \frac{1}{ a_{n} ^{2} }-1=\frac{1}{ a_{n} ^{2} }-\frac{1}{a _{n ...