Matematyka.pl

Dane są liczby naturalne \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), takie że ich iloczyn jest podzielny przez \(\displaystyle{ 800}\).
Udowodnij, że jedna liczb \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 8}\).

Przyznam, że nie wiem jak do tego podejść. Raczej nie skorzystamy tutaj z cech podzielności liczb przez 8

Zmienić kolejność całkowania:
\int_{- \sqrt{2} }^{0} dx \int_{x}^{ \sqrt{4-x^{2}} } f(x, y) dy

Moja odpowiedź:
\int_{- \sqrt{2}}^{0} dy \int_{y}^{- \sqrt{2}} f(x, y) dx + \int_{0}^{ \sqrt{2} } dy \int_{0}^{\sqrt{2}}f(x, y) dx + \int_{\sqrt{2}}^2} dy \int_{0}^{ \sqrt{4-y^{2} }f(x, y) dx

Proszę ...

Ok, f(x, y)=\ln ^{2} \frac{x}{y^{2}} w punkcie (e, -e) . W zadaniu trzeba było jeszcze policzyć pochodną kierunkową funkcji w kierunku wersora \vec{v} = \left[ \frac{ \sqrt{3} }{2}, - \frac{1}{2} \right] , ale to już zrobiłem. Zależy mi na wyznaczeniu tego wersora dla którego \frac{ \partial f ...

Należy wyznaczyć wersor, dla którego \frac{ \partial f}{ \partial \vec{v} } (e, -e) ma wartość największą.
Załóżmy że gradient \text{grad} f \left( \frac{1}{4}, 2\right) = \left(6e, e \right) .

W mojej szybkiej ocenie byłoby to po prostu \vec{v} = (1,0) , czy dobrze? A co z wartością najmniejszą ...

Ach, rzeczywiście. Czyli wystarczy obliczyć:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \frac{\pi}{2} }d \alpha \int_{2\cos \alpha }^{2} \sqrt{4-r^{2}} r dr}\)?

Stosując współrzędne biegunowe, obliczyć objętość bryły ograniczonej warunkami:
0 \le z \le \sqrt{4-x^{2}-y^{2}}, 2x \le x^{2}+y^{2} \le 4, x \ge 0, y \ge 0

Otrzymuję okręgi
S(1,0), R=1; S(0, 2), R=2 .

Całka będzie:
\int_{}^{} \int_{}^{} \sqrt{4-x^{2}-y^{2}}-0 dxdy na obszarze wyznaczonym ...

\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^{n} x^{n}}{3^{n+1}+2}

Otrzymuję:
x _{0} =0, R=3, x \in (-3;3)
Muszę zbadać na krańcach przedziału:
w x=-3 mam:
\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{3^{n}}{3^{n+1}+2}

a w x=3
\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-3)^{n}}{3^{n+1}+2}

Jak zbadać zbieżność w tych dwóch ...

A jak się robi takie zmodyfikowane podstawienie? )
Pytam, bo gdyby y=r \sin \theta , to 0 \le \theta \le \frac{\pi}{3} .

Będzie: 0 \le r \le \frac{3}{2} , |J|=r , a co z kątem?-- 27 cze 2019, o 23:19 --A nie można x=r\cos \theta, y=r\sin \theta, 0 \le r \le \frac{3}{2}, 0 \le \theta \le \frac{\pi ...

Już wiem, zgubiłem minusa przy pierwiastku z trzech. Wydaje mi się, że punkt \(\displaystyle{ (0, -2)}\) nie należy do opisywanego obszaru, bo parabola przecina się z okręgiem jeszcze przed osią OY (patrząc od prawej). Chyba że czegoś nie rozumiem...

Zastosować całkę podwójną do obliczenia pola obszaru D=\left\{ \left( x, y \right) \in \RR^{2}: x^{2} + y^{2} \le 3y, y \le \sqrt{3}x \right\} .

Otrzymałem dwa punkty w których przecinają się krawędzie obszaru:
\left( 0,0 \right) i \left( \frac{3 \sqrt{3} }{4}, \frac{9}{4} \right) . Jedną z ...

Całkę podwójną \int_{}^{} f \left( x, y \right) dxdy zamienić na całki iterowane lub sumę takich całek (dla dwóch różnych kolejności całkowania), jeśli D = \left\{ \left( x, y \right) \in \RR ^{2}: \sqrt{4-y^{2}} \le x \le 4-y^{2}, y \le 0 \right\} .

Widzę, że obszar ten opiera się głównie na 3 ...

Wiem, że są dwa wzory:
\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+\frac{\partial f}{\partial z}(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0

i
-\frac{\partial f}{\partial x}(x-x_0)-\frac{\partial f}{\partial y}(y-y_0)+(z-z_0)=0 .

Czy można ich używać zamiennie ...

Czyli ostateczna odpowiedź będzie \(\displaystyle{ z=3y+3}\) (jako r-nie płaszczyzny)?

Ok, chyba rozumiem, właśnie z mi brakowało.

Inne, podobne pytanie:

Znaleźć r-nie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji f(x, y)=y^{3}+ \sqrt{1-x^{2}y^{2}} w punkcie jego przecięcia z osią Oy.

Zatem:
\frac{ \partial f}{ \partial y} = 3y^{2} + \frac{2yx^{2}}{2 \sqrt{1-x^{2}y^{2}} }

w x=0
f(0 ...

Wyznaczyć równania płaszczyzn stycznych do powierzchni f(x, y) = x^{3}+y^{2}-6xy+15x w punktach, w których są one równoległe do płaszczyzny 6x-2y-z=0 .

Moja próba rozwiązania:
Wektor normalny płaszczyzny:
[6, -2, -1]
\frac{ \partial f}{ \partial x} = 3x^{2}-6y+15
\frac{ \partial f}{ \partial y ...