Matematyka.pl

Nie wiem, cos źle skombinowałam z tą \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\), nie wiem co ja zrobiłam. Założenie, żeby mieć pewność o możliwosć zastosowania twierdzenia z indukcji ma sens. Dzięki

Ok, ...= -(x_1-x_2)+2(x_1-x_2)=(x_1-x_2)<0 Co do 2) f(x)=\sin^2x to robiłam to przekształcając wykres funkcji cosx, ale z definicji to jest: f(x)=f(x+T) \\ \sin^2x=\sin^2(x+T) i należy wyznaczyć T, T>0 . Jakby widzę, że T= \pi , bo (\sin(x))^2=(\sin(x+ \pi ))^2 bo \sin(x+ \pi )=-\sin(x) , ale nie po...

Zahion pisze:

alabarann pisze:\(\displaystyle{ \sin(x_1)-\sin(x_2)+2(x_1-x_2) \ge( x_1-x_2) +2(x_1-x_2)=3(x_1-x_2) <0}\)

Z tych nierówności nic nie wywnioskujemy. Ten przypadek masz rozpatrzony zle.

Masz rację, nierówności mają inny zwrot. Nie mam pomysłu.

Ale chodzi mi o to, że za \(\displaystyle{ n_{0}}\) możemy wziąć dowolną liczbę większą od \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) , np. \(\displaystyle{ 16}\), tak? Czyli dla danego \(\displaystyle{ M}\) bierzemy wyraz ciągu dla \(\displaystyle{ n=M+\mbox{coś większego od } \frac{1}{4}}\) i ten wyraz będzie większy od \(\displaystyle{ M}\), tak?

Dzięki, faktycznie, teraz widzę to przejście w indukcji.

x_1 <x_2 \Rightarrow x_1-x_2 <0 \\ \left| \sin(x_1)-\sin(x_2)\right| \le \left| x_1-x_2\right| \\ \\ f(x_1)-f(x_2)=\sin(x_1)-\sin(x_2)+2(x_1-x_2) Dla \sin(x_1)- \sin (x_2) > 0 : \\ \sin(x_1)-\sin (x_2) \le -(x_1-x_2) \\ \sin(x_1)-\sin(x_2)+2(x_1-x_2) \le -(x_1-x_2)+2(x_1-x_2)=2(x_1-x_2)-(x_1-x_2)=x...

a _{n_{0}}= \frac{2^{n_{0} }}{(n_{0})^2} \ge (n_{0})^2=(M+16)^2 >M I rozumiem, że za a_{n_{0}} możemy przyjąć dowolną liczbę większą od M , aby powyższa nierówność ostra była spełniona, np. 16 , tak? Co do indukcji to ja wyszłam w 2. kroku z taką implikacją: 2^n \ge n^4 \Rightarrow 2^{n+1} \ge (n+1...

Rozumiem, że po dowodzie:

\(\displaystyle{ 2^n \ge n^4 \\
a_{n}=2^n/n^2 \ge n^2}\)

Czy to dowodzi, że ciąg nie jest ograniczony? Bo nie do końca rozumiem. Mam też problem z tym dowodem indukcyjnym, nie mam pomysłu jak to szacować.

Mogę prosić o kolejną wskazówkę?

Dzięki za odpowiedź, ale dalej nie rozumiem.

\(\displaystyle{ 1) f(x)=\sin x+2x \\
2) f(x)=\sin ^2x}\)

Wykazać z definicji, że 1) jest rosnąca, a 2) okresowa.

Zbadać ograniczoność ciągu z definicji: a_n= \frac{2^n}{n^2} Wiem, że ciąg jest rozbieżny, w związku z czym nie jest ograniczony. Jednak nie potrafię zrobić tego z definicji. Moje próby: \frac{2^n}{n^2} > M \\[2ex] \log_2 (2^n) - 2 \log_2 n > \log_2 M \\[2ex] n - 2 \log_2 n > \log_2 M Docelowo należ...