Matematyka.pl

Funkcja f jest dwukrotnie różniczkowalna oraz x+f(x)\cdot f'(x)+f'(x)\cdot f''(x)=0. Oblicz granice (1)\lim_{x\rightarrow 0}x\cdot f(x)= (2)\lim_{x\rightarrow 0}x\cdot f(x)\cdot f'(x)= (3)\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{f'(x)}{\ln|x|}= (4)\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)f'(x)}{...

Wykaż warunkową zbieżność całki \(\displaystyle{ \int_0^\infty\;\frac{\sin\,x}{x}\;dx}\).

Zamysł: Narysujmy okrąg jednostkowy w punkcie D. Zastosujmy inwersje wierzchołków trójkąta i okręgu opisanego, i wtedy wystarczy pokazać, ze \(\displaystyle{ DC+DB = DA.}\)

W \(\displaystyle{ \bigtriangleup{ABC}, \angle{BAC}=20^\circ}\) oraz \(\displaystyle{ \sqrt[3]{a^3+b^3+c^3-3abc}=min\{b,c\}}\).Uzasdnij że \(\displaystyle{ ABC}\) jest równoramienny.

Tak, o ten zapis chodziło.

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zbiorem \(\displaystyle{ k}\) liczb całkowitych \(\displaystyle{ x_1,x_2,...,x_k}\). Niech \(\displaystyle{ X^2=X\times X = \{x_i\times x_j , 1\leq i,j \leq n\}.}\)
Pokaż że jesli \(\displaystyle{ |X^2| = 2k-1}\) to \(\displaystyle{ x_1,x_2,...,x_k}\) jest ciągiem geometrycznym.

2. Minimum wynosi 1, czyli minimum sumy \(\displaystyle{ \ctg\alpha+\ctg\beta+\ctg\gamma}\). Osiągane jest one wtedy gdy P pokrywa się z środkiem okręgu wpisanego.

Wyznacz liczbe naturalna \(\displaystyle{ a > 1}\), która spełnia równosc \(\displaystyle{ \int_{a}^{a^2} \left(\frac{1}{\ln x} - \frac{2}{(\ln x)^3}\right) dx = \frac{a}{\ln a}. }\)

Dane są trzy półkola o średnicach \(\displaystyle{ AB,AN}\) oraz \(\displaystyle{ NB}\) (rys). Wiedząc że \(\displaystyle{ MN=6,NQ=2}\) oblicz długość \(\displaystyle{ QB}\).

Wykaż ze \(\displaystyle{ \cos x+ \cos y\le1+\cos(xy)}\) dla \(\displaystyle{ x,y\in\left[ 0;\frac{\pi}{3}\right]. }\)

Czy istnieje wielościan wypukły, który spełnia następujące cztery warunki
a) Wielościan ma co najmniej 2022 wierzchołki.
b) Każda z jego krawędzi ma co najmniej 1 cm długości.
c) Żadna z jego ścian nie jest trójkątem.
d) Wielościan znajduje się wewnątrz kuli o promieniu 2 cm.

Wykaż ze funkcja\[f(x)=\frac{1}{2^x+1}+\frac{1}{3^x+1}+\frac{1}{6^x+1}-\frac{1}{4^x+1}-\frac{1}{9^x+1}\]jest malejąca.

Wykaż że

Niech \(\displaystyle{ D}\) będzie punktem wewnątrz trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) takim, że \(\displaystyle{ |AC| -|AD| \geq 1}\) i \(\displaystyle{ |BC|- |BD| \geq 1}\). Udowodnij, że dla dowolnego punktu \(\displaystyle{ E}\) na odcinku \(\displaystyle{ AB}\) mamy \(\displaystyle{ |EC| -|ED| \geq 1.}\)

Oblicz resztę z dzielenia \(\displaystyle{ \sum_{x=1}^{103} x^{3}(x+1)^{3}}\) przez \(\displaystyle{ 105^2}\).