Matematyka.pl

Oblicz granicę ciągu danego wzorem: \(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{1}{n^2} \right) ^{n}}\), domyślam się, że granica wynosi \(\displaystyle{ 1}\) ale nie wiem jak to wykazać.

Mamy wielomian W(x)=(x+1) ^{m}-x^{m}-1 . Mamy określić dla jakich m\in\NN będzie on podzielny przez wielomian x^{2}+x+1 . Moja próba rozwiązania: Najpierw określamy pierwiastki x^{2}+x+1 : x _{1}= \frac{-1+ \sqrt{3} i}{2} , x _{1}+1= \frac{1+ \sqrt{3} i}{2} \\ x _{2}= \frac{-1- \sqrt{3} i}{2} , x _{...

NIe widzę jak udało ci się do tego dotrzeć, (poza tym chyba pomyliłeś się pisząc 1n):
\(\displaystyle{ 1+\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k!} \cdot \frac{n}{n} \ldots \frac{n-k+1}{n}}\)
Mógłbyś wyjaśnić ten krok...

Oblicz z definicji granicę ciągu (w nieskończoności) \(\displaystyle{ a _{n}= \left( 1+ \frac{1}{n^2} \right) ^{n}}\)

Z definicji zapisujemy, że \(\displaystyle{ \forall \alpha \exists N _{0} \forall n>N _{0} \left| 1- \left( 1+ \frac{1}{n^2} \right) ^{n}\right| < \alpha}\). Co robić dalej...

Czyli dobrze rozumiem, że rozwiązaniem równania będą takie z, że \(\displaystyle{ (\overline{z} = -a \wedge Im(z)=0) \vee z=0}\)
Świetne rozwiązanie! Nie wiedziałem, że aby iloczyn tych zespolonych był rzeczywisty to musi zachodzić:\(\displaystyle{ a=k \overline{z} \wedge k \in \RR \setminus \left\{ 0\right\}}\).

NIe jestem pewien czy ta część jest poprawna...

\(\displaystyle{ x^2+y^2+ax+2y+iay=0}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}x^2+y^2+ax+2y=0\\ ay=0 \Rightarrow y=0 \end{cases}}\)

Przecież \(\displaystyle{ a}\) należy do liczb zespolonych, więc trzeba raczej zapisać \(\displaystyle{ Im(ax)+Im(iay)=0}\) Mógłby ktoś to skomentować?

Znaleźć wszystkie zespolone rozwiązania równania dla parametru \(\displaystyle{ a \neq 0}}\) należącego do zbioru liczb zespolonych \(\displaystyle{ i \overline{z} +\left| z\right| ^{2} -iz + az=0}\).

Nie wiem jak zrobić to zadanie próbowałem rozbijać \(\displaystyle{ z}\) i \(\displaystyle{ a}\) na składowe, ale i tak nie widzę rozwiązania.

Można to zrobić indukcyjnie? Krok pierwszy oczywisty, krok indukcyjny: Zakładamy, że: \bigcup_{n \in \NN} A _{n} = \bigcup_{n \in \NN} B _{n} Zatem, \bigcup_{n+1 \in \NN} B _{n} = (A _{n+1} - \bigcup_{n \in \NN} A _{n} ) \cup \bigcup_{n \in \NN} B _{n}=(A _{n+1} - \bigcup_{n \in \NN} A _{n} ) \cup \...

Ach rozumiem już o co chodzi, ale dalej nie wiem jak to ładnie rozpisać...

Udowodnić, że dla dowolnej rodziny zbiorów \(\displaystyle{ \left\{A _{n} \ | \ n \in \NN \right\}}\)
Zachodzi równość \(\displaystyle{ \bigcup_{n \in \NN} A _{n} = \bigcup_{n \in \NN} B _{n}}\)

Gdzie, \(\displaystyle{ B _{n} = A _{n} - \bigcup_{i<n} A _{i}}\) dla \(\displaystyle{ n \in \NN}\)

Mógłby ktoś pomóc w zrobieniu tego zadania?

Czyli dla zbiorów \(\displaystyle{ A=\{ 1,4,8\}}\) i \(\displaystyle{ B=\{ 2,3\}}\), \(\displaystyle{ A+B=\{ 3,4,6,7,10,11\}}\)?

Niech \(\displaystyle{ A, B}\) to zbiory liczb rzeczywistych, gdzie \(\displaystyle{ A,B \subset \RR}\), czym jest wtedy \(\displaystyle{ A+B}\)?

No dobrze rozumiem czym jest \(\displaystyle{ G \times G}\), ale cały czas nie wiem co dokładnie oznacza całe wyrażenie \(\displaystyle{ \left\langle \right\rangle :G \times G \rightarrow G}\).

Dodawanie ma 2 argumenty

A oznaczenia \(\displaystyle{ G \times G}\) nie znam, z chęcią bym sprawdził w necie co to jest ale nie wiem jak to się nazywa...

Mam 2 pytania: Podczas definicji grupy na początku zapisujemy \left\langle \right\rangle :G \times G \rightarrow G (gdzie G to zbiór, a \left\langle \right\rangle działanie). Czy ktoś mógłby wytłumaczy co to dokładnie oznacza? Drugie pytanie dotyczy następującej grupy \left\{\left\{ 1,2, ... , n-1 \...