Matematyka.pl

Uwaga odnośnie kwantyfikatorów miała chyba nieco inny sens, niż to odbierasz. Może spróbuję to napisać dokładniej (na niebiesko dodałem to, co pomyślałeś, a w pierwszym poście nie zapisałeś i co już wyjaśniliśmy): wiemy, że: P(A) = \{X: X \subseteq A \} , więc jeżeli x \in A , to dla każdego takieg...

Racja, moim błędem jest to, że nie podkreśliłem, że zbiór X , który użyłem do definiowania zbioru potęgowego, w dalszych rozważaniach nadal jest tym elementem zbioru P(A) No tak… W zasadzie jest to OK, chociaż formalista przyczepiłby się, że mylisz kwantyfikatory (ponieważ patrząc literalnie, udowa...

Jedna sprawa to fakt, że to jest dowód implikacji w jedną stronę, a druga sprawa to takie spostrzeżenie, iż ten dowód jest błędny (być może kryje się w tym jakiś słuszny zamysł, którego przekazanie udaremniło jakieś przeoczenie lub nieporadność językowa). Weźmy X=\left\{ 1,2,\pi\right\}, \ A=\left\...

Treść: Udowodnij, że dla dowolnych zbiorów A i B , A \subseteq B wtedy i tylko wtedy, gdy P(A) \subseteq P(B) . Dowód: Z definicji zbioru potęgowego wiemy, że: P(A) = \{X: X \subseteq A \} , więc jeżeli x \in A , to dla każdego takiego elementu x istnieje zbiór X taki, że x \in X . Jeżeli A \subsete...

Jan Kraszewski pisze:Możesz spróbować jako zadanie dodatkowe uzasadnić to drugie zawieranie.

JK

Spróbuję, choć już prywatnie, bo z pewniością ma mnie pan już dość

Jan Kraszewski pisze:A, masz rację. W zadaniu masz tylko jedno zawieranie, które właśnie uzasadniliśmy. Natomiast tak naprawdę te zbiory są równe (co jednak nie jest przedmiotem Twojego zadania).

JK

Heh, po ciężkich trudach z moją "inteligencją" się udało, dziękuje! Jest Pan wielki

Nie, to właśnie pokazałeś. Musisz udowodnić, że \bigcup \left\{ X\times Y: X \in A, Y \in B \black\right\} zawiera się w \left( \bigcup A \right) \times \left( \bigcup B \right) . JK No i nie do końca to rozumiem, bo przecież to lewa strona ma zawierać się w prawej, dlaczego teraz prawa ma zawierać...

Już rozumiem, czyli następnie muszę udowodnić że: \(\displaystyle{ \bigcup \left\{ X\times Y: X \in A, Y \in B \black\right\}.}\) zawiera w sobię \(\displaystyle{ \left( \bigcup A \right) \times \left( \bigcup B \right)}\) ?

Nie do końca rozumiem jak z tego kroku:

Jan Kraszewski pisze: \(\displaystyle{ A' \times B'\in \left\{ X\times Y: X \in A, Y \in B \right\}}\)

Doszliśmy do następującego:

Jan Kraszewski pisze: czyli z definicji sumy uogólnionej mamy \(\displaystyle{ (x,y)\in\bigcup \left\{ X\times Y: X \in A, Y \in B \right\}}\), co kończy dowód zawierania.

Jan Kraszewski pisze: Skoro \(\displaystyle{ x\in A'}\) i \(\displaystyle{ y\in B'}\), to \(\displaystyle{ (x,y)\in...}\). Ponadto \(\displaystyle{ A'\in A}\) i \(\displaystyle{ B'\in B}\) zatem...

\(\displaystyle{ x\in A'}\) i \(\displaystyle{ y\in B'}\), to \(\displaystyle{ (x,y)\in A' \times B'}\) Ponadto \(\displaystyle{ A'\in A}\) i \(\displaystyle{ B'\in B}\) zatem...zatem udowodniłem to? bo tak chyba na to wychodzi

No cóż, ciężko rozwiązywać zadania nie znając definicji: ... e_formalne. Masz tam też definicję sumy uogólnionej. JK Teraz rozumiem swój błąd, czyli x należy do jakiegoś A' który należy do A , tak samo z y które należy do B' które należy do B . Czy po tym elemencie powinienem zająć się prawą stroną...

Jan Kraszewski pisze:

hack2yrjoy pisze:czy mogę teraz założyć że skoro \(\displaystyle{ x}\) należy do \(\displaystyle{ \bigcup A}\) to należy też do \(\displaystyle{ A}\) ?

No skąd! Znasz definicję sumy uogólnionej?
JK

Jak widać niezbyt, chyba potrzebuje wyjaśnienia

Jan Kraszewski pisze:Tak, ale zamiast znaczków lepiej pisz to słowami.

Dobrze, a czy mogę teraz założyć że skoro \(\displaystyle{ x}\) należy do \(\displaystyle{ (\bigcup A)}\) to należy też do \(\displaystyle{ A}\) ?

Jan Kraszewski pisze: Teraz skorzystaj z definicji iloczynu kartezjańskiego

W sensie coś jak:\(\displaystyle{ \left( x,y \right) \in \left( \bigcup A \right) \times \left( \bigcup B \right) \right) \Rightarrow x \in \bigcup A \wedge y \in \bigcup B}\)

Byłbym wdzięczny, jakby ktoś chciał pomóc mi w zrozumieniu, nie do końca rozwiązaniu, dziękuje Spróbuję. Załóżmy, że mamy zbiory A i B których elementami są zbiory - czyli masz dwie rodziny zbiorów. wtedy: \left( \bigcup A \right) \times \left( \bigcup B \right) \subseteq \bigcup \left\{ X\times Y:...