Matematyka.pl

Mam kilka pytań w związku z tą granicą: \lim_{ (x,y)\to (0,0) } \frac{\sqrt[3]{x^4+2y^4}}{|x|+|y|} 1) Czy zapisanie tego w ten sposób i rozpatrzenie poszczególnych przypadków będzie dowodem? \lim_{ (x,y)\to (0,0) } \frac{\sqrt[3]{x^4+2y^4}}{|x|+|y|} = \lim_{ (x,y)\to (0,0) } \frac{ \sqrt[3]{x} \sqrt...

Jeszcze co ciekawe, wklepałem to zadanie na wolframalpha i wedlug niego granica tej funkcji nie istnieje... >.< https://www.wolframalpha.com/input/?i=limit+%28%28x%2By%29%28cos%281%2Fx%29%29%29as+x-%3E0+as+y-%3E0 lub to drugie https://www.wolframalpha.com/input/?i=limit+%28%28x%2By%29%28cos%281%2Fy%...

Ostatnie trzy zdania na tej stronie

Hej, wyczytałem, że jeśli nie istnieje któraś z granic iterowanych, lub nie są one sobie równe, to dana funkcja nie ma granicy w punkcie, jednak spotkałem się z takim przykładem: \lim_{ \left( x,y \right) \to \left( 0,0 \right) } \left( x+y \right) \cos \left( \frac{1}{x} \right) = 0 granica istniej...

Hej, zastanawiam się czy można w ten sposób uzasadnić z definicji Heinego podaną równość: \lim _{x\to \infty }\left(\frac{\left(2^{x+2}+5\right)}{2^x}\right)=4\\ \lim _{x\to \infty }\left(2^2+\frac{5}{2^x}\right)=4\\ \forall x_n \left[ \:\lim _{n\to \infty }\left(x_n\right)=\infty \Rightarrow \lim _...

Hej, mam udowodnić, że \lim _{n\to \infty }\left(\sin \left(n\right)\right) nie istnieje. Mam z tym spory problem. Czy to co udało mi się tu wyłuskać jest poprawnym dowodem? \lim _{n\to \infty }\left(\sin \left(n\right)\right)=g \\ -1 \le g \le 1 \\ \lim _{n\to \infty }\left(\sin \left(2n\right)\rig...

Hej, mam pokazać, że granica ciągu nie istnieje. Zastanawiam się czy takie wyznaczenie, w domyśle, "wzoru ogólnego", w którym częściowo przechodzę już w granicę ale nie do końca, i potem wykorzystanie go do obliczenia granic podciągów jest dozwolone? \lim_{ n\to \infty } \left( 1+ \frac{n}...

Udowodnić z definicji \lim_{n\to \infty } a^n=0 dla a \in (-1, 1) Rozbiłem to sobie na trzy przypadki a<0, a=0 i a>0 Zastanawiam się czy dla -1<a<0 mogę zrobić coś takiego: \left| a^n\right|<E \\ \left| a^ {\frac{2n}{2}} \right|<E \\ \left| \sqrt{a^{2n}}\right| <E \\ \sqrt{a^{2n}}<E \\ a^{2n}<E^2 \\...

Mam udowodnić z definicji, że:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{n}=1}\)
Próbowałem to zrobić tak:
\(\displaystyle{ \left| \sqrt[n]{n}-1< E\right| \\
\sqrt[n]{n}-1< E \\
\sqrt[n]{n}< E+1 \\
\frac{1}{n} \log (n)<\log (E+1)}\)
ale nie wymyśliłem jak to sensownie dokończyć >.<

Czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć dlaczego w tym przykładzie w przedostatniej linijce zmieniono znak? 0<a<1 \\ \lim _{n\to \infty }\log _an=-\infty \Leftrightarrow \\ \forall_{ m\in \mathbb{R}_-}\ \:\exists_{ n_m}\ \forall_{ n>n_m}\ \:\log _an<m\\ \:\log _an<m\\ a^{\log _an}<a^m \\ n>a^m \\ n_m = a^m

Definicje znam, gorzej mi idzie jej stosowanie >.< \frac{1-12 \varepsilon}{1+4 \varepsilon}< x < \frac{1+12 \varepsilon}{1-4 \varepsilon} \frac{-16 \varepsilon}{1+4 \varepsilon} < x-1 < \frac{16 \varepsilon}{1-4 \varepsilon} wyrażenie po lewej stronie jest na pewno mniejsze od 0 dla epsilon > 0 0< \...

Udowodnić z definicji Cauchy'ego: \lim_{ x\to 1 } \frac{1}{x+3}= \frac{1}{4} Próbowałem zrobić tak: \left| \frac{1}{x+3} - \frac{1}{4} \right| < \varepsilon \frac{1}{4} - \varepsilon < \frac{1}{x+3} < \frac{1}{4}+ \varepsilon czyli po przekształceniach: \frac{1-12 \varepsilon}{1+4 \varepsilon}< x < ...

Racja, jak się uczyłem, umknęło mi, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty } (1+a_n)^\frac{1}{a_n}=e}\) tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }a_n=0}\)
To w sumie dziwne, bo w m.in. tym zadaniu kazali [sugerowali by] opierać się na liczbie e >.<
Przykład jest dobrze przepisany, sprawdzałem kilka razy

Gdzie robię błąd? Szukamy granicy ciągu o wyrazie ogólnym: u_n= \left( \frac{n^2+2}{2n^2+1} \right) ^{n^2} \\ u_n= \left( 1+ \frac{-n^2+1}{2n^2+1} \right) ^{n^2} \\ u_n= \left( \left( 1+ \frac{1}{\frac{2n^2+1}{-n^2+1}} \right) ^{\frac{2n^2+1}{-n^2+1}} \right) ^{\frac{-n^2+1}{2n^2+1}\cdot n^2} \\ \li...

Rozwiązać równania :
a)\(\displaystyle{ z^{11}=\overline{z}}\)

b)\(\displaystyle{ 4z=\overline{z}^3}\)

Serdecznie proszę o wskazówki do zadań tego typu