Matematyka.pl

Zad 1 Niech X_{1},X_{2},... będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na [0,1] . Niech \alpha =inf \left\{ n:X_{1}^{3}+X_{2}^{3}+...+X_{n}^{3} \ge 100\right\} . Pokazać, że \alpha < \infty Zad 2 Niech \alpha =inf \left\{ n:|S_{n}|=5\right\} , a S_{n} - błądzenie losowe symetrycz...

Udowodnić, że dla jeśli \(\displaystyle{ \alpha}\) jest nieobciążonym estymatorem wektora parametrów \(\displaystyle{ \beta}\) , to \(\displaystyle{ \text{Var}_{ \beta }( \alpha ) - I^{-1}( \beta )}\) jest nieujemnie określona.

\(\displaystyle{ I}\) to macierz informacji Fishera.

Niech X ma rozkład Bernoulliego z parametrami (n,p) . Chcemy estymować: f(p)= p^{2} . a) Sprawdź zgodność i asymptotyczną zgodność estymatora g_{1}(X)= \frac{ X^{2} }{ n^{2} } b) Znajdź nieobciążony estymator g_{2}(X) Co do podpunktu a, to próbowałem sprawdzić, czy granica \text{E}\big( g_{1}(X)\big...

A mógłbym prosić o wyjaśnienie jaka jest idea estymatora p? Dlaczego dodajemy dwa sukcesy i 2 porażki?

Dla \(\displaystyle{ X}\) o rozkładzie Bernoulliego \(\displaystyle{ (n,p)}\) podaj dokładny przedział ufności dla parametru \(\displaystyle{ p}\).

Wiem jak policzyć asymptotyczny przedział, ale z dokładnym mam problem.

Oblicz I( \alpha ) i I^{-1}( \alpha ) , dla rozkładu wielomianowego z parametrami (n, p_{1},...,p_{k}) i parametryzacji tż \alpha=(ln( \frac{ p_{1} }{ p_{k} }),...,ln( \frac{ p_{k-1} }{ p_{k} }))^{T} . Nie rozumiem stwierdzenia o parametryzacji. Macierz ma k-1 wierszy, a w zadaniu mamy k parametrów....

Y_{1},...,Y_{n} - próbka z rozkładu wykładniczego z parametrem \alpha . Ustal estymator największej wiarygodności parametru \beta ( \alpha )=P_{ \alpha }( Y_{1}>t) . Oblicz jego wariancję, obciążenie i ograniczenie Cramera-Rao. Otrzymałem estymator: a=exp( \frac{-tn}{ y_{1}+...+y_{n} }) , ale w żad...

Wynikiem pewnego doświadczenia są wyniki X,Y,Z , ale w niektórych przypadkach niemożliwym jest odróżnienie X od Y. Prawdopodobieństwa otrzymania tych wyników to p_{X}, p_{Y}, p_{Z} Po wykonaniu n niezależnych doświadczeń dostaliśmy wyniki n_{X} razy zaszło X, n_{Y} zaszło Y i n_{Z} zaszło Z, ale w n...

Rozważmy regresję logistyczną. X_{i}= 0 lub X_{i}=1 Wiadomo, że X_{1},...,X_{n} są niezależnymi zmiennymi losowymi, dla których P (X_{i}=1)= p_{i} . Wiemy, że log\frac{ p_{i} }{1- p_{i} }= \beta _{1}*A + \beta _{2}*B+ \beta _{3}*C , gdzie A,B,C przyjmują tylko wartości 0 lub 1 i dla każdego p_{i} ty...

Rozważamy predykcję zmiennej losowej \(\displaystyle{ a}\) za pomocą kombinacji liniowej k-elementowego wektora losowego \(\displaystyle{ B}\). \(\displaystyle{ Var(B)>0}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ \alpha \in R}\) i \(\displaystyle{ \beta \in R^{k}}\), które minimalizują \(\displaystyle{ E(a- \alpha - \beta ^{T}B)^{2}}\), to \(\displaystyle{ \alpha =Ea- \beta ^{T}EB}\), \(\displaystyle{ \beta = (Var(B))^{-1}cov(a,B)}\)

Zupełnie pomieszało mi się. Nie wiem czemu to zsumowałem.

Czyli \(\displaystyle{ E exp (- \frac{X_{1}}{n}) =exp (a( e^{- \frac{1}{n}}-1))?}\)

Niech X_{1},..., X_{n} zmienne niezależne o tym samym rozkładzie Poissona z parametrem a . Policz obciążenie estymatora b= e^{ -\frac{ X_{1}+...+X_{n} }{n} } parametru c(a)= e^{-a} . Eb=Ee^{ -\frac{ X_{1}+...+X_{n} }{n} }=nE e^{- \frac{ X_{1} }{n} }=n \sum_{k=0}^{ \infty } e^{- \frac{k}{n} } \frac{ ...

Rozważmy jednoparametryczną wykładniczą rodzinę rozkładów z gęstościami danymi wzorem: f_{a}(x)=\exp(T(x)a-b(a))h(x) . Wykaż, że E_{a}(rT(X))=\exp(b(a+r)-b(a)) Czym jest tutaj T(X) ? I jaki ma rozkład, jeśli X ma gęstość f_{a} ? Wydaje mi się, że T(X) jest statystyką dostateczną, ale jak to dalej za...

Ale chyba w \(\displaystyle{ exp}\) powinno być samo c, a nie kwadrat. C to jest już wariancja. W takim razie w ułamku przed \(\displaystyle{ exp}\) c powinno być pod pierwiastkiem. Mam rację?

Rzeczywiście - nazwa powinna być "statystyka dostateczna". Postępując analogicznie do znalezionych przykładów z faktoryzacji rozkładu normalnego dostajemy: T(x)= (\sum_{j=1}^{n} x_{j}, \sum_{j=1}^{n} x_{j}^{2}) , ale ta statystyka ma wymiar 2, a nie wymiar k+1. Wymiar statystyki zależy od ...